Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a seguinte equação:
Aqui, estamos trabalhando com funções implícitas, onde y está definido em termos de x, mas não de forma direta. Para resolver isso, provavelmente precisamos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja,
, usando diferença implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então ao derivar termos que envolvem y, precisamos usar a regra da cadeia.
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo:
Usamos a regra do produto:
Agora, diferenciamos o lado direito:
Passo 3
Agora, colocamos as derivadas dos dois lados iguais:
Nosso objetivo é isolar
, então vamos reunir todos os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro.
Subtraindo
e
de ambos os lados:
Passo 4
Fatorando
do lado esquerdo:
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Resposta
A derivada de y em relação a x é:
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
para
Considere a função
.
Encontre todas as assíntotas horizontais de . Se não houver nenhuma explique o porquê.
Encontre todas as assíntotas horizontais de