Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a seguinte equação:
Aqui, estamos trabalhando com funções implícitas, onde y está definido em termos de x, mas não de forma direta. Para resolver isso, provavelmente precisamos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, , usando diferença implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então ao derivar termos que envolvem y, precisamos usar a regra da cadeia.
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo:
Usamos a regra do produto:
Agora, diferenciamos o lado direito:

Passo 3

Agora, colocamos as derivadas dos dois lados iguais:
Nosso objetivo é isolar , então vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro.
Subtraindo e de ambos os lados:

Passo 4

Fatorando do lado esquerdo:
Para encontrar , basta dividir ambos os lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

A derivada de y em relação a x é:

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Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
para
Considere a função .
Encontre todas as assíntotas horizontais de . Se não houver nenhuma explique o porquê.