Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
para

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 2 da expressão . A função é definida de duas maneiras diferentes: uma para e outra para . Para resolver esse limite, vamos analisar como a função se comporta perto de usando conceitos de limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Como está na parte onde , usamos a definição de para essa região:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 2 pela direita ( ) e pela esquerda ( ).
Para :
Neste caso, . Então, a expressão fica:
Portanto, o limite pela direita é 1.
Para :
Aqui, . Substituindo na expressão:
Podemos fatorar o numerador:
Então:
Cancelando (já que ):
Agora, calculamos o limite pela esquerda:
Portanto, o limite pela esquerda é 2.

Passo 4

Vamos comparar os limites laterais:
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais são diferentes.

Exercícios relacionados

Considere a função .
Encontre todas as assíntotas horizontais de . Se não houver nenhuma explique o porquê.
Considere a função .
Encontre o maior subconjunto de onde a função está definida e diga para quais valores é contínua. Justifique sua resposta.