Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
para
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 da expressão
. A função
é definida de duas maneiras diferentes: uma para
e outra para
. Para resolver esse limite, vamos analisar como a função se comporta perto de
usando conceitos de limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Como
está na parte onde
, usamos a definição de
para essa região:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 2 pela direita (
) e pela esquerda (
).
Para
:
Neste caso, . Então, a expressão fica:
Neste caso,
Portanto, o limite pela direita é 1.
Para
:
Aqui, . Substituindo na expressão:
Aqui,
Podemos fatorar o numerador:
Então:
Cancelando
(já que
):
Agora, calculamos o limite pela esquerda:
Portanto, o limite pela esquerda é 2.
Passo 4
Vamos comparar os limites laterais:
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois os limites laterais são diferentes.
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.
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