Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
lim x 2 g(x)-g(2)x-2 para g(x)= x, & x >= 2 x^22, & x<2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 2 da expressão . A função é definida de duas maneiras diferentes: uma para e outra para . Para resolver esse limite, vamos analisar como a função se comporta perto de usando conceitos de limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular g(2) = 2 . Como está na parte onde , usamos a definição de para essa região:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de g(x) - g(2)x - 2 = x - 2x - 2 = 1 quando g(x) - g(2)x - 2 = x^22 - 2x - 2 = x^2 - 42x - 2 = x^2 - 42(x - 2) se aproxima de 2 pela direita ( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) ) e pela esquerda ( (x - 2)(x + 2)2(x - 2) = x + 22 ).
Para x + 22 :
Neste caso, limx 2^- x + 22 = 2 + 22 = 2 . Então, a expressão fica:
Portanto, o limite pela direita é 1.
Para :
Aqui, . Substituindo na expressão:
Podemos fatorar o numerador:
Então:
Cancelando (já que ):
Agora, calculamos o limite pela esquerda:
Portanto, o limite pela esquerda é 2.

Passo 4

Vamos comparar os limites laterais:
limx 2^+ g(x) - g(2)x - 2 = 1
limx 2^- g(x) - g(2)x - 2 = 2
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais são diferentes.

Exercícios relacionados