Considere a função .
Encontre todas as assíntotas horizontais de . Se não houver nenhuma explique o porquê.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as assíntotas horizontais da função . Para isso, precisamos entender o conceito de assíntotas horizontais, que são linhas que a função se aproxima quando tende a mais ou menos infinito. Vamos utilizar conhecimentos de limites para determinar se existem essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando tende para mais infinito ( ). Isso nos ajudará a entender para onde a função está se aproximando nesse sentido.

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos simplificar as expressões no numerador e no denominador observando os termos de maior grau, pois eles dominam o comportamento da função quando é muito grande.
No numerador temos . Como cresce muito mais rápido que 729 quando aumenta, podemos aproximar:
No denominador temos . Novamente, cresce muito mais rápido que 64, então:
Portanto, o denominador pode ser aproximado por:

Passo 4

Agora, substituímos essas aproximações na função original para encontrar o limite quando tende a :
Isso significa que, quando vai para , a função se aproxima de .

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento quando tende para . O processo é similar:
No numerador:
No denominador:
Portanto, a aproximação da função é a mesma:

Resposta

A função possui uma única assíntota horizontal, que é a reta .

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Considere a função .
Encontre o maior subconjunto de onde a função está definida e diga para quais valores é contínua. Justifique sua resposta.
Considere a função .
Encontre todas as assíntotas verticais de . Se não houver nenhuma explique o porquê.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
para