Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá a função
. O objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função em relação a
. Para isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, especialmente a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que precisam ser derivadas. Podemos ver que temos uma função composta: a tangente (
) de outra função. Vamos chamar o que está dentro da tangente de
, ou seja:
Então, nossa função fica:
Para derivar
em relação a
, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função exterior multiplicada pela derivada da função interior. Matemáticamente:
Passo 3
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Lembre-se que
. Para derivar essa fração, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar
e
:
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 5
Agora que temos
, podemos voltar à derivada de
:
Substituindo
:
Resposta
A derivada da função
em relação a
é:
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