y = tan(raiz(x) / (x + 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá a função . O objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, especialmente a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que precisam ser derivadas. Podemos ver que temos uma função composta: a tangente ( ) de outra função. Vamos chamar o que está dentro da tangente de , ou seja:
Então, nossa função fica:
Para derivar em relação a , vamos usar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função exterior multiplicada pela derivada da função interior. Matemáticamente:

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . Lembre-se que . Para derivar essa fração, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar e :
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 5

Agora que temos , podemos voltar à derivada de :
Substituindo :

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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Demonstre que a derivada de uma função ímpar é uma função par.
f(t) = ((t^2 - 1) / (t^2 + 1))^(3/2).
f(x) = raiz3(x^5 - 4 x^3 + 1).
y = cos(sen(raiz(x^2 + 1))).