Encontre as retas tangente e normal à curva
, em
, sabendo que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as retas tangente e normal à curva
no ponto onde
. Para isso, a gente vai usar conceitos de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas como essa. Vamos precisar dos valores de
,
,
e
que já foram fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. Sabemos que
, então substituindo
:
Isso significa que o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que diz que se
, então:
Substituindo
:
Esse valor,
, é a inclinação da reta tangente.
Passo 4
Com o ponto
e a inclinação
, podemos achar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como a inclinação da tangente é
, a inclinação da normal será:
Passo 6
Usando novamente a forma ponto-inclinação com o ponto
e a inclinação
:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A reta tangente à curva em
é
e a reta normal é
.