Encontre as retas tangente e normal à curva , em , sabendo que e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as retas tangente e normal à curva no ponto onde . Para isso, a gente vai usar conceitos de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas como essa. Vamos precisar dos valores de , , e que já foram fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Sabemos que , então substituindo :
Isso significa que o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em , ou seja, . Para isso, usamos a regra da cadeia, que diz que se , então:
Substituindo :
Esse valor, , é a inclinação da reta tangente.

Passo 4

Com o ponto e a inclinação , podemos achar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como a inclinação da tangente é , a inclinação da normal será:

Passo 6

Usando novamente a forma ponto-inclinação com o ponto e a inclinação :
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente à curva em é e a reta normal é .

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