Encontre a familia de curvas ortogonais à familia de elipses x^2 + 4y^2 = c, x>0, y>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a família de curvas ortogonais à família das elipses dadas pela equação , onde e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente sobre curvas ortogonais. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação das elipses: . Aqui, é uma constante que determina o tamanho da elipse. Para encontrar as curvas ortogonais, precisamos achar a inclinação das tangentes dessas elipses em cada ponto.
Vamos derivar a equação da elipse em relação a para encontrar , que é a inclinação da tangente na elipse.
Derivando ambos os lados:
Isolando :

Passo 3

Agora, sabemos que as curvas ortogonais têm tangentes perpendiculares às tangentes das elipses. Se a inclinação da tangente da elipse é , então a inclinação da tangente da curva ortogonal será o negativo do inverso disso. Ou seja:
Isso porque para duas retas serem perpendiculares, suas inclinações multiplicadas devem dar :

Passo 4

Agora, temos a inclinação da curva ortogonal: . Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a equação das curvas ortogonais.
Reescrevendo:
Essa é uma equação diferencial separável, então podemos separar as variáveis e :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais são:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Podemos reescrever a equação usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar de outra constante, digamos :

Passo 7

Então, a família de curvas ortogonais às elipses é dada por:
Onde é uma constante real.

Resposta

A família de curvas ortogonais é dada por , onde é uma constante real.

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