Encontre a familia de curvas ortogonais à familia de elipses
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a família de curvas ortogonais à família das elipses dadas pela equação
, onde
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente sobre curvas ortogonais. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação das elipses:
. Aqui,
é uma constante que determina o tamanho da elipse. Para encontrar as curvas ortogonais, precisamos achar a inclinação das tangentes dessas elipses em cada ponto.
Vamos derivar a equação da elipse em relação a
para encontrar
, que é a inclinação da tangente na elipse.
Derivando ambos os lados:
Isolando
:
Passo 3
Agora, sabemos que as curvas ortogonais têm tangentes perpendiculares às tangentes das elipses. Se a inclinação da tangente da elipse é
, então a inclinação da tangente da curva ortogonal será o negativo do inverso disso. Ou seja:
Isso porque para duas retas serem perpendiculares, suas inclinações multiplicadas devem dar
:
Passo 4
Agora, temos a inclinação da curva ortogonal:
. Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a equação das curvas ortogonais.
Reescrevendo:
Essa é uma equação diferencial separável, então podemos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais são:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Podemos reescrever a equação usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar
de outra constante, digamos
:
Passo 7
Então, a família de curvas ortogonais às elipses
é dada por:
Onde
é uma constante real.
Resposta
A família de curvas ortogonais é dada por
, onde
é uma constante real.