y = x^2 sen(1/x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me passou é a função . Vamos trabalhar com cálculo, mais especificamente sobre limites e comportamento de funções quando se aproxima de um ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções trigonométricas e polinomiais se comportam juntas, especialmente próximo de pontos críticos como .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com essa função quando se aproxima de zero. Temos dois componentes principais:
  1. : Quando se aproxima de zero, também se aproxima de zero.
  2. : À medida que se aproxima de zero, cresce sem limites, fazendo com que o seno oscile rapidamente entre -1 e 1.
Então, basicamente, estamos multiplicando algo que vai a zero ( ) por algo que oscila entre -1 e 1 ( ).

Passo 3

Para encontrar o limite dessa função quando se aproxima de zero, podemos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Sandwich Theorem). Esse teorema diz que se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também terá esse limite.
Sabemos que:
Multiplicando todos os lados por (que é sempre positivo), temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades quando tende a zero:
Ambos os limites são iguais a zero.

Passo 5

De acordo com o Teorema do Confronto, já que está sempre entre e , e ambos os limites são zero, podemos concluir que:

Resposta

O limite da função quando se aproxima de zero é 0.

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