Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você me passou é a função
. Vamos trabalhar com cálculo, mais especificamente sobre limites e comportamento de funções quando
se aproxima de um ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções trigonométricas e polinomiais se comportam juntas, especialmente próximo de pontos críticos como
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com essa função quando
se aproxima de zero. Temos dois componentes principais:
-
: Quando se aproxima de zero, também se aproxima de zero. -
: À medida que se aproxima de zero, cresce sem limites, fazendo com que o seno oscile rapidamente entre -1 e 1.
Então, basicamente, estamos multiplicando algo que vai a zero (
) por algo que oscila entre -1 e 1 (
).
Passo 3
Para encontrar o limite dessa função quando
se aproxima de zero, podemos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Sandwich Theorem). Esse teorema diz que se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também terá esse limite.
Sabemos que:
Multiplicando todos os lados por
(que é sempre positivo), temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades quando
tende a zero:
Ambos os limites são iguais a zero.
Passo 5
De acordo com o Teorema do Confronto, já que
está sempre entre
e
, e ambos os limites são zero, podemos concluir que:
Resposta
O limite da função
quando
se aproxima de zero é 0.
Exercícios relacionados
Sejam $a$ e $b$ reais quaisquer. Verifique que
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-1 | -1 | -1 | -1 |
Quando
varia em
], sen
fica oscilando entre
.
Determine a equação da reta tangente às seguintes funções, no(s) ponto(s) indicado(s).
Calcule a derivada das funções abaixo.