You are given the random vector X^prime=[X1, X2, X3, X4] with mean vector mux^prime=[4,3,2,1] e variance-covariance matrix
Partition X as
SigmaX=[rrrr 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4 ]
X=[c X1 X2 hdashline X3 X4 ]=[l X^(1) hdashline X^(2) ]
Let
A=[ll 1 & 2 ] e B=[ll 1 & -2 2 & -1 ]
e considere as combinações lineares A X^(1) e B X^(2). Find
(f) E(B X^(2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor aleatório B = 1 & -2 2 & -1 com uma média e uma matriz de variância-covariância dada. A questão quer que a gente encontre o valor esperado da combinação linear , onde:
E . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos valores esperados: o valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos valores esperados dessas variáveis. Matematicamente, se temos uma matriz E(B X^(2)) = B , E(X^(2)) e um vetor , então:
Isso significa que podemos calcular multiplicando a matriz pelo vetor das expectativas de .

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor das expectativas de mux = [4, 3, 2, 1]^T . Sabemos que:
E(X^(2)) = E(X3) E(X4) = 2 1
Como , o vetor das expectativas é:

Passo 4

Com isso, podemos substituir na fórmula que mencionamos anteriormente:
E(B X^(2)) = B , E(X^(2)) = 1 & -2 2 & -1 2 1
Vamos fazer essa multiplicação de matrizes passo a passo.

Passo 5

Multiplicando a matriz 1 & -2 2 & -1 2 1 = 1 cdot 2 + (-2) cdot 1 2 cdot 2 + (-1) cdot 1 = 2 - 2 4 - 1 = 0 3 pelo vetor :

Resposta

E(B X^(2)) = 0 3

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