You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor aleatório com uma média e uma matriz de variância-covariância dada. A questão quer que a gente encontre o valor esperado da combinação linear , onde:
E . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos valores esperados: o valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos valores esperados dessas variáveis. Matematicamente, se temos uma matriz e um vetor , então:
Isso significa que podemos calcular multiplicando a matriz pelo vetor das expectativas de .
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor das expectativas de . Sabemos que:
Como , o vetor das expectativas é:
Passo 4
Com isso, podemos substituir na fórmula que mencionamos anteriormente:
Vamos fazer essa multiplicação de matrizes passo a passo.