You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor aleatório com uma média e uma matriz de variância-covariância dada. A questão quer que a gente encontre o valor esperado da combinação linear , onde:
E . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos valores esperados: o valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos valores esperados dessas variáveis. Matematicamente, se temos uma matriz e um vetor , então:
Isso significa que podemos calcular multiplicando a matriz pelo vetor das expectativas de .

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor das expectativas de . Sabemos que:
Como , o vetor das expectativas é:

Passo 4

Com isso, podemos substituir na fórmula que mencionamos anteriormente:
Vamos fazer essa multiplicação de matrizes passo a passo.

Passo 5

Multiplicando a matriz pelo vetor :

Resposta

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Derive expressions for the mean and variances of the seguinte combinações lineares em termos das médias e covariâncias das variáveis aleatórias , e .
(e)
You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(h)