e considere as combinações lineares A X^(1) e B X^(2). Find
(f) E(B X^(2))
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor aleatório B = 1 & -2 2 & -1 com uma média e uma matriz de variância-covariância dada. A questão quer que a gente encontre o valor esperado da combinação linear , onde:
E . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos valores esperados: o valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos valores esperados dessas variáveis. Matematicamente, se temos uma matriz E(B X^(2)) = B , E(X^(2)) e um vetor , então:
Isso significa que podemos calcular multiplicando a matriz pelo vetor das expectativas de .
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor das expectativas de mux = [4, 3, 2, 1]^T . Sabemos que:
E(X^(2)) = E(X3) E(X4) = 2 1
Como , o vetor das expectativas é:
Passo 4
Com isso, podemos substituir na fórmula que mencionamos anteriormente:
E(B X^(2)) = B , E(X^(2)) = 1 & -2 2 & -1 2 1
Vamos fazer essa multiplicação de matrizes passo a passo.