You are given the random vector X^prime=[X1, X2, X3, X4] with mean vector mux^prime=[4,3,2,1] e variance-covariance matrix
Partition X as
SigmaX=[rrrr 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4 ]
X=[c X1 X2 hdashline X3 X4 ]=[l X^(1) hdashline X^(2) ]
Let
A=[ll 1 & 2 ] e B=[ll 1 & -2 2 & -1 ]
e considere as combinações lineares A X^(1) e B X^(2). Find
(h) Cov(B X^(2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um vetor aleatório X = [X1, X2, X3, X4]^prime com média mux = [4, 3, 2, 1] e uma matriz de variância-covariância SigmaX. A gente vai precisar entender como calcular a covariância de combinações lineares de partes desse vetor usando álgebra linear e estatística básica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes do vetor X. A gente tem:
X^(1) = X1 X2 , X^(2) = X3 X4
Isso significa que estamos dividindo o vetor X em duas partes: a primeira com X1 e X2, e a segunda com X3 e X4.

Passo 3

As matrizes A e B são dadas por:
A = 1 & 2 , B = 1 & -2 2 & -1
E queremos encontrar a covariância de B X^(2).

Passo 4

Lembra que, para uma combinação linear de variáveis aleatórias, como B X^(2), a covariância é calculada usando a fórmula:
Cov(B X^(2)) = B SigmaX^(2) B^prime
Onde SigmaX^(2) é a matriz de covariância da parte X^(2).

Passo 5

Vamos extrair a submatriz SigmaX^(2) da matriz completa SigmaX:
SigmaX = 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4
A submatriz SigmaX^(2) corresponde às linhas e colunas 3 e 4:
SigmaX^(2) = 9 & -2 -2 & 4

Passo 6

Agora, vamos multiplicar a matriz B pela matriz de covariância SigmaX^(2) e depois pela transposta de B:
Primeiro, calculamos B SigmaX^(2):
B SigmaX^(2) = 1 & -2 2 & -1 9 & -2 -2 & 4 = (1)(9) + (-2)(-2) & (1)(-2) + (-2)(4) (2)(9) + (-1)(-2) & (2)(-2) + (-1)(4) = 9 + 4 & -2 -8 18 + 2 & -4 -4 = 13 & -10 20 & -8

Passo 7

Agora, multiplicamos o resultado pela transposta de B, que é B^prime = 1 & 2 -2 & -1 :
B SigmaX^(2) B^prime = 13 & -10 20 & -8 1 & 2 -2 & -1 = (13)(1) + (-10)(-2) & (13)(2) + (-10)(-1) (20)(1) + (-8)(-2) & (20)(2) + (-8)(-1) = 13 + 20 & 26 + 10 20 + 16 & 40 + 8 = 33 & 36 36 & 48

Resposta

A covariância de B X^(2) é:
Cov(B X^(2)) = 33 & 36 36 & 48

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