You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um vetor aleatório com média e uma matriz de variância-covariância . A gente vai precisar entender como calcular a covariância de combinações lineares de partes desse vetor usando álgebra linear e estatística básica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes do vetor . A gente tem:
Isso significa que estamos dividindo o vetor em duas partes: a primeira com e , e a segunda com e .
Passo 3
As matrizes e são dadas por:
E queremos encontrar a covariância de .
Passo 4
Lembra que, para uma combinação linear de variáveis aleatórias, como , a covariância é calculada usando a fórmula:
Onde é a matriz de covariância da parte .
Passo 5
Vamos extrair a submatriz da matriz completa :
A submatriz corresponde às linhas e colunas 3 e 4:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar a matriz pela matriz de covariância e depois pela transposta de :
Primeiro, calculamos :
Passo 7
Agora, multiplicamos o resultado pela transposta de , que é :