You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um vetor aleatório com média e uma matriz de variância-covariância . A gente vai precisar entender como calcular a covariância de combinações lineares de partes desse vetor usando álgebra linear e estatística básica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes do vetor . A gente tem:
Isso significa que estamos dividindo o vetor em duas partes: a primeira com e , e a segunda com e .

Passo 3

As matrizes e são dadas por:
E queremos encontrar a covariância de .

Passo 4

Lembra que, para uma combinação linear de variáveis aleatórias, como , a covariância é calculada usando a fórmula:
Onde é a matriz de covariância da parte .

Passo 5

Vamos extrair a submatriz da matriz completa :
A submatriz corresponde às linhas e colunas 3 e 4:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar a matriz pela matriz de covariância e depois pela transposta de :
Primeiro, calculamos :

Passo 7

Agora, multiplicamos o resultado pela transposta de , que é :

Resposta

A covariância de é:

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Derive expressions for the mean and variances of the seguinte combinações lineares em termos das médias e covariâncias das variáveis aleatórias , e .
(e)
You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(f)
You are given the random vector with mean vector and variance-covariance matrix
Partition as
Let
and consider the linear combinations and . Find
(b)
You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(i)