e considere as combinações lineares A X^(1) e B X^(2). Find
(h) Cov(B X^(2))
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um vetor aleatório X = [X1, X2, X3, X4]^prime com média mux = [4, 3, 2, 1] e uma matriz de variância-covariância SigmaX. A gente vai precisar entender como calcular a covariância de combinações lineares de partes desse vetor usando álgebra linear e estatística básica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes do vetor X. A gente tem:
X^(1) = X1 X2 , X^(2) = X3 X4
Isso significa que estamos dividindo o vetor X em duas partes: a primeira com X1 e X2, e a segunda com X3 e X4.
Passo 3
As matrizes A e B são dadas por:
A = 1 & 2 , B = 1 & -2 2 & -1
E queremos encontrar a covariância de B X^(2).
Passo 4
Lembra que, para uma combinação linear de variáveis aleatórias, como B X^(2), a covariância é calculada usando a fórmula:
Cov(B X^(2)) = B SigmaX^(2) B^prime
Onde SigmaX^(2) é a matriz de covariância da parte X^(2).
Passo 5
Vamos extrair a submatriz SigmaX^(2) da matriz completa SigmaX: