Derive expressions for the mean and variances of the seguinte combinações lineares em termos das médias e covariâncias das variáveis aleatórias
, e
.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as expressões para a média e para a variância da combinação linear
em termos das médias e covariâncias das variáveis aleatórias
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de estatística sobre médias e variâncias de combinações lineares de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da combinação linear
. A média de uma combinação linear de variáveis aleatórias é igual à combinação linear das médias dessas variáveis. Ou seja:
Onde
representa o valor esperado, ou média, da variável aleatória.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância da combinação linear
. A variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias leva em conta não apenas as variâncias individuais, mas também as covariâncias entre elas. A fórmula geral para a variância de
é:
No nosso caso, os coeficientes são
,
e
. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Resposta
Portanto, as expressões para a média e a variância da combinação linear
são: