Derive expressions for the mean and variances of the seguinte combinações lineares em termos das médias e covariâncias das variáveis aleatórias X1, X2, e X3.
(e) X1+2 X2-X3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as expressões para a média e para a variância da combinação linear em termos das médias e covariâncias das variáveis aleatórias , e . Para isso, vamos usar conceitos de estatística sobre médias e variâncias de combinações lineares de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da combinação linear muY = E[Y] = E[X1 + 2 X2 - X3] . A média de uma combinação linear de variáveis aleatórias é igual à combinação linear das médias dessas variáveis. Ou seja:
Onde representa o valor esperado, ou média, da variável aleatória.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância da combinação linear Var(Y) = a^2 Var(X1) + b^2 Var(X2) + c^2 Var(X3) + 2ab , Cov(X1, X2) + 2ac , Cov(X1, X3) + 2bc , Cov(X2, X3) . A variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias leva em conta não apenas as variâncias individuais, mas também as covariâncias entre elas. A fórmula geral para a variância de Var(Y) = (1)^2 Var(X1) + (2)^2 Var(X2) + (-1)^2 Var(X3) + 2(1)(2) , Cov(X1, X2) + 2(1)(-1) , Cov(X1, X3) + 2(2)(-1) , Cov(X2, X3) é:
No nosso caso, os coeficientes são , e . Substituindo esses valores na fórmula, temos:

Resposta

Portanto, as expressões para a média e a variância da combinação linear muY = muX1 + 2 muX2 - muX3 são:
Var(Y) = Var(X1) + 4 Var(X2) + Var(X3) + 4 Cov(X1, X2) - 2 Cov(X1, X3) - 4 Cov(X2, X3)

Exercícios relacionados