Prove que se
e
forem vetores constantes e
e
forem funções integráveis, então
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício de cálculo integral. A parada é provar que, se
e
forem vetores constantes e
e
forem funções integráveis, então:
A gente vai precisar entender sobre a linearidade da integral, que basicamente diz que a integral de uma soma é a soma das integrais, e como lidar com constantes dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma integral linear. Isso quer dizer que, se você tem uma soma de funções dentro da integral, você pode separar em integrais individuais. Ou seja:
Isso facilita muito a nossa vida na hora de resolver integrais complicadas.
Passo 3
No nosso caso, além da soma, temos vetores constantes
e
multiplicando as funções
e
. A propriedade da integral com constantes diz que se você tem uma constante multiplicando uma função dentro da integral, você pode tirar essa constante pra fora. Matematicamente:
Onde
é uma constante e
é a função a ser integrada.
Passo 4
Aplicando essas duas propriedades no nosso enunciado:
Primeiro, usamos a linearidade para separar as integrais:
Passo 5
Agora, aplicamos a propriedade das constantes para tirar
e
das integrais:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Encontre o vetor posição
, se o vetor aceleração é
, sempre que
Seja
.
b) Calcule um valor aproximado para , correspondente a
e
.
b) Calcule um valor aproximado para
Calcule
.
b) e
.
b)