Prove que se C e D forem vetores constantes e f e g forem funções integráveis, então
integral[C f(t)+D g(t)] d t=C integral f(t) d t+D integral g(t) d t

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício de cálculo integral. A parada é provar que, se integral[C f(t) + D g(t)] dt = C integral f(t) dt + D integral g(t) dt e forem vetores constantes e e forem funções integráveis, então:
A gente vai precisar entender sobre a linearidade da integral, que basicamente diz que a integral de uma soma é a soma das integrais, e como lidar com constantes dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma integral linear. Isso quer dizer que, se você tem uma soma de funções dentro da integral, você pode separar em integrais individuais. Ou seja:
integral [A(t) + B(t)] dt = integral A(t) dt + integral B(t) dt
Isso facilita muito a nossa vida na hora de resolver integrais complicadas.

Passo 3

No nosso caso, além da soma, temos vetores constantes integral k cdot h(t) dt = k cdot integral h(t) dt e multiplicando as funções e . A propriedade da integral com constantes diz que se você tem uma constante multiplicando uma função dentro da integral, você pode tirar essa constante pra fora. Matematicamente:
Onde é uma constante e é a função a ser integrada.

Passo 4

Aplicando essas duas propriedades no nosso enunciado:
integral[C f(t) + D g(t)] dt
Primeiro, usamos a linearidade para separar as integrais:
= integral C f(t) dt + integral D g(t) dt

Passo 5

Agora, aplicamos a propriedade das constantes para tirar = C integral f(t) dt + D integral g(t) dt e das integrais:

Resposta

Assim, mostramos que:
integral[C f(t) + D g(t)] dt = C integral f(t) dt + D integral g(t) dt

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4 z=2 x+y é a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1,1,3). Calcule partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1)
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