Dê zoom em direção aos pontos e sobre o típico pinheiro cultivado para madeira em local controlado.
Idade da árvore (anos) 14 21 28 35 42 49
Altura (metros) 12 16 19 22 24 25
Fonte: Arkansas Forestry Commission.
Se é a altura da árvore após anos, construa uma tabela de valores estimados de e esboce seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a altura de um pinheiro ao longo dos anos e descobrir como a taxa de crescimento dessa árvore muda com o tempo. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a entender a taxa de variação de uma função. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada aproximada usando os valores da tabela fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Ela representa a altura da árvore após anos. A derivada vai nos mostrar a taxa de crescimento da árvore em cada ponto no tempo, ou seja, quão rápido a altura está aumentando em cada ano.

Passo 3

Como não temos uma expressão matemática contínua para , vamos estimar usando a diferença entre os valores de altura em anos consecutivos. A fórmula que vamos usar é:
Aqui, é o intervalo de tempo entre as medições, que no nosso caso é de 7 anos (por exemplo, de 14 para 21 anos).

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para cada intervalo na tabela:
  1. De 14 para 21 anos:
  1. De 21 para 28 anos:
  1. De 28 para 35 anos:
  1. De 35 para 42 anos:
  1. De 42 para 49 anos:

Passo 5

Agora, vamos organizar esses valores em uma tabela para facilitar a visualização:
Idade da árvore (anos) Altura (m) (m/ano)
14 12 0,57
21 16 0,43
28 19 0,43
35 22 0,29
42 24 0,14
49 25 -
Obs: No último ponto (49 anos), não temos um próximo valor para calcular .

Passo 6

Por fim, para esboçar o gráfico de , imagine um eixo horizontal representando a idade da árvore e um eixo vertical representando a taxa de crescimento . Plotando os pontos da tabela:
  • Em 14 anos,
  • Em 21 anos,
  • Em 28 anos,
  • Em 35 anos,
  • Em 42 anos,
Você verá que a taxa de crescimento diminui com o tempo, indicando que a árvore cresce mais rapidamente nos primeiros anos e desacelera à medida que envelhece.

Resposta

A tabela de valores estimados de é:
Idade da árvore (anos) Altura (m) (m/ano)
14 12 0,57
21 16 0,43
28 19 0,43
35 22 0,29
42 24 0,14
49 25 -
O gráfico de mostra que a taxa de crescimento da árvore diminui à medida que a idade aumenta.

Exercícios relacionados

(a)
É mostrado o gráfico de uma função .
(d) Estime o valor de
Derive a função.
3.
© Faça os gráficos da parábola e da reta tangente. Como verificação, dê um zoom em direção ao ponto até que a parábola e a reta tangente fiquem indistinguíveis.