Dê zoom em direção aos pontos
e
sobre o típico pinheiro cultivado para madeira em local controlado.
Idade da árvore (anos) | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 |
---|---|---|---|---|---|---|
Altura (metros) | 12 | 16 | 19 | 22 | 24 | 25 |
Fonte: Arkansas Forestry Commission.
Se é a altura da árvore após
anos, construa uma tabela de valores estimados de
e esboce seu gráfico.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a altura de um pinheiro ao longo dos anos e descobrir como a taxa de crescimento dessa árvore muda com o tempo. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a entender a taxa de variação de uma função. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada aproximada
usando os valores da tabela fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Ela representa a altura da árvore após
anos. A derivada
vai nos mostrar a taxa de crescimento da árvore em cada ponto no tempo, ou seja, quão rápido a altura está aumentando em cada ano.
Passo 3
Como não temos uma expressão matemática contínua para
, vamos estimar
usando a diferença entre os valores de altura em anos consecutivos. A fórmula que vamos usar é:
Aqui,
é o intervalo de tempo entre as medições, que no nosso caso é de 7 anos (por exemplo, de 14 para 21 anos).
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para cada intervalo na tabela:
- De 14 para 21 anos:
- De 21 para 28 anos:
- De 28 para 35 anos:
- De 35 para 42 anos:
- De 42 para 49 anos:
Passo 5
Agora, vamos organizar esses valores em uma tabela para facilitar a visualização:
Idade da árvore (anos) | Altura (m) |
|
---|---|---|
14 | 12 | 0,57 |
21 | 16 | 0,43 |
28 | 19 | 0,43 |
35 | 22 | 0,29 |
42 | 24 | 0,14 |
49 | 25 | - |
Obs: No último ponto (49 anos), não temos um próximo valor para calcular
.
Passo 6
Por fim, para esboçar o gráfico de
, imagine um eixo horizontal representando a idade da árvore e um eixo vertical representando a taxa de crescimento
. Plotando os pontos da tabela:
- Em 14 anos,
- Em 21 anos,
- Em 28 anos,
- Em 35 anos,
- Em 42 anos,
Você verá que a taxa de crescimento diminui com o tempo, indicando que a árvore cresce mais rapidamente nos primeiros anos e desacelera à medida que envelhece.
Resposta
A tabela de valores estimados de
é:
Idade da árvore (anos) | Altura (m) |
|
---|---|---|
14 | 12 | 0,57 |
21 | 16 | 0,43 |
28 | 19 | 0,43 |
35 | 22 | 0,29 |
42 | 24 | 0,14 |
49 | 25 | - |
O gráfico de
mostra que a taxa de crescimento da árvore diminui à medida que a idade aumenta.
Exercícios relacionados
(a)
É mostrado o gráfico de uma função
.
(d) Estime o valor de
(d) Estime o valor de
Derive a função.
3.
3.
© Faça os gráficos da parábola e da reta tangente. Como verificação, dê um zoom em direção ao ponto
até que a parábola e a reta tangente fiquem indistinguíveis.