Espessura de Camada-Limite

Neste exercício, nós já temos o perfil de velocidades descrito e o enunciado pede para só conferirmos as condições de contorno. Mais tranquilo que o exercício anterior, não é mesmo?

Além disso, temos que avaliar as razões das espessuras de deslocamento () e de quantidade de movimento () sobre a espessura de perturbação ().

Então, vamos começar pelo mais simples: avaliar a coerência do perfil de velocidades proposto!

Lembre-se de que, na camada-limite, a velocidade do fluido em contato com a superfície é zero (condição de não-deslizamento):

Certinho! Agora, na região mais afastada, a tensão de cisalhamento é nula ():

É, até que esse cara sabe fazer bem um perfil, tudo certinho! ^^

Agora, vamos aplicar as definições que vimos de espessura de camada-limite!

Antes de começar, vamos propor uma troca de variável, tal que . Mas por que isso? Dê uma olhadinha no perfil de velocidades do enunciado. Não ficaria bem mais limpo e organizado se trocássemos todas as razões por ? Então, é isso que vamos fazer! ^^

Assim, ficamos com:

Bem melhor, não? Isso facilitará nossa vida adiante!

Para a espessura de deslocamento ():

Como é uma constante, podemos passar ela para dentro da derivada e ficamos com:

Olha só, aparece aquela nossa nova variável . Então, vamos reescrever em função dela:

Note que o limite de integração superior também muda, pois, se , então e, se , então .

Substituindo a expressão do perfil de velocidades, temos:

Ao integrarmos:

Logo:

Analogamente, para a espessura de quantidade de movimento ():

Fazendo a mudança de variáveis, temos:

Ao substituirmos a expressão do perfil:

Logo:

Vamos inicialmente organizar nossos objetivos! O enunciado nos pede 2 coisas: a vazão de fluido através da superfície e a força de arrasto sobre a superfície.

O cálculo da vazão é feito pelo balanço de massa que já vimos anteriormente no tópico de Forma Integral do Volume de Controle:

Note que precisaremos do perfil de velocidades para calcular a vazão, mas qual é sua expressão?

O enunciado nos diz que o perfil é linear, logo é do tipo:

Lembra das condições de contorno? Então, sabemos que a velocidade é nula em e que equivale a em . Portanto:

E ainda:

Pronto! Temos que o perfil de velocidades é dado por:

Podemos reescrevê-lo com a variável :

Considerando o retângulo como volume de controle (VC) e que o problema está no estado estacionário (propriedades não variam no tempo), podemos escrever:

Como são e são constantes, podem sair das derivadas e integrais:

Substituindo a expressão do perfil de velocidades que encontramos:

Pela mudança de variável, temos:

Logo:

Substituindo na integral:

Vamos agora concluir nosso segundo objetivo: determinar a força de arrasto que a superfície da placa sofre devido ao escoamento do fluido.

Se antes utilizamos o balanço de massa para encontrar a vazão, agora, como queremos encontrar uma força, utilizaremos o balanço de momento:

Como assumimos estado estacionário e o volume de controle não se move simultaneamente ao fluido ():

E aí, entendeu o problema? O enunciado nos pede para calcular a diferença de pressão entre os dois pontos. Mas por que há essa diferença? Chegou a pensar nisso?

Sabemos que pressão e velocidade estão correlacionados pela equação de Bernoulli:

Então, para que exista uma diferença de pressão entre e , significa dizer que há também uma diferença entre as velocidades médias dos pontos e . E você saberia explicar o porquê dessa diferença de velocidades?

Para isso, temos que lembrar da definição de espessura de deslocamento (). Ela é a distância da qual a superfície deve ser deslocada, tal que o fluxo volumétrico real possa ser calculado por meio de um perfil uniforme (velocidades constantes).

Como nos foi dado o valor dessa espessura, podemos considerar o escoamento nesse duto como se ele fosse em um duto convergente, ou seja, cuja área diminui ao longo do escoamento:

Como a vazão é constante, sabemos que ao diminuir a área do escoamento, aumentamos a velocidade média do fluido e, consequentemente, diminuímos a pressão. Sendo assim, esperamos que .

Vamos conferir se isso condiz com o resultado?

Pela equação da conservação da massa, admitindo estado estacionário, temos que:

Sendo assim:

Como as velocidades e são constantes:

O cálculo das áreas será dado por:

Já sabemos que no início (ponto ), a camada-limite ainda não se formou e a velocidade média do escoamento equivale à do fluido antes de entrar (. Dessa maneira:

Pela equação de Bernoulli aplicada aos pontos e :

Olha que bacana! De fato, a diferença de pressão deu negativa como havíamos predito ao início!

Então aprendemos que: em dutos com contração, a velocidade média aumenta ao longo do escoamento e que, em regiões com maiores velocidades, observamos menores valores de pressão (para um determinado sistema com energia fixada).

A ideia com esse exercício é fixar as condições de contorno usualmente utilizadas, para se determinar o perfil de velocidades na camada-limite desenvolvida sob uma placa plana.

Nosso objetivo é aplicar três condições de contorno na equação senoidal, a fim de encontrar os três parâmetros: A, B e C.

A condição de contorno mais importante da Mecânica dos Fluidos é a condição de aderência (ou de não-deslizamento), que afirma que a velocidade no fluido em contato com uma superfície em repouso é nula.

Além disso, podemos ainda definir mais duas condições para camada-limite, que tratam do fato da velocidade ser constante () e da tensão de cisalhamento ser nula fora da camada-limite ().

Com isso temos as seguintes condições:

Definidas as condições de contorno, vamos aplicar cada uma delas à equação:

Pela condição de não-deslizamento:

Pela condição da continuidade do perfil de velocidades com :

Pela condição de tensão cisalhante nula fora da camada-limite:

Sabemos que a função cosseno se anula toda vez que seu argumento for múltiplo de , logo:

Substituindo na equação da segunda condição, obtemos:

Dessa maneira, temos a equação completa:

Nesse exercício já temos o comportamento de três tipos de camadas-limite laminares. Isso já é um adianto o/

Para traçar o gráfico, vamos pegar alguns valores de y e aplicar as fórmulas dadas no enunciado separadamente. Os valores estão na tabela

Por último, vamos fazer o gráfico com esses valores. Antes, atençãããão! O eixo y será a distância adimensional, ou seja, . E no eixo x estarão as velocidades adimensionais (u/U).

E assim conseguimos aproximar camadas-limites laminares como essa:

Nesse caso, o comportamento que melhor se encaixa é o parabólico ou o senoidal 😉

O que queremos dessa vez? Queremos calcular a razão entre a espessura de quantidade de movimento (θ) e a espessura de perturbação (δ) para cada um dos tipos de camada-limite apresentados.

Vimos na teoria, a definição de θ

Dividindo pela espessura de perturbação

A sacada aqui é uma pequena mudança de variáveis que vai facilitar as coisas

Atualizando a integral

Agora vamos substituir os diferentes perfis de velocidade. No perfil linear:

Substituindo

Então, a razão entre as espessuras no perfil linear é

Analisando o perfil senoidal

Substituindo na equação da espessura de quantidade de movimento

Integrando seno ao quadrado por partes

Encontramos a razão para o perfil senoidal. o/

Finalmente, para o perfil parabólico

Substituindo em

Integrando

Então, a relação entre as espessuras no perfil parabólico é