Camada Limite

Então, galera, vamos começar com um exemplo bem tranquilo. A ideia é fixar o conceito de transição do regime laminar para o turbulento e ver um pouquinho de scale-up de projetos.

Nós já vimos que para definir se um escoamento é turbulento ou não, utilizamos o número de Reynolds, que é definido por:

Em que é a velocidade do escoamento, é um comprimento característico da geometria, é a densidade do fluido, é a viscosidade cinemática, é a viscosidade dinâmica (razão ente viscosidade cinemática e a densidade).

Nosso objetivo é determinar a distância mínima a partir da superfície da proa em que observamos a transição para turbulência (Reynolds crítico) no barco real. Devido à inviabilidade de analisar o barco em tamanho real, vamos estimar qual seria a posição para o caso de um modelo 18 vezes menor (escala 1:18).

No enunciado, temos informações quanto à velocidade do navio e, consequentemente, da superfície da proa e da temperatura da água.

A temperatura da água só nos é importante para buscar o valor correspondente da viscosidade do fluido. Assim temos:

Nós já vimos que, para placas planas, a transição para turbulência ocorre em torno do número de Reynolds igual a:

Dessa maneira, temos somente como variável:

Com isso, temos que:

Agora vamos aplicar o scale-up do protótipo à escala real. É bem simples, temos que o modelo é 18 vezes menor que o barco real. Dessa maneira, espera-se que a distância obedeça a mesma proporção, logo:

Bom, o enunciado pede para avaliarmos 2 (duas) situações:

1. Escoamento com
2. Escoamento com

Nosso objetivo aqui é determinar se ambos os experimentos são práticos, ou seja, passíveis de serem realizados. Tá bem, mas como vejo isso?

Na prática, nós temos que ver se, para alcançar os valores solicitados de número de Reynolds, precisaremos submeter a esfera de a velocidades muito baixas ou muito altas, o que inviabilizaria o experimento. Bora lá então!

No enunciado, temos informações quanto ao diâmetro da esfera, ao tipo de fluido (óleo SAE 10) e sabemos quais os valores de precisamos alcançar.

Sabemos ainda que a viscosidade dinâmica do óleo a temperatura ambiente () é:

Dessa maneira, temos como calcular a velocidade que devemos impor a esfera, para alcançar tais números de Reynolds:

Para o caso a), temos:

Esse é um valor super coerente, basta imaginar que a cada segundo a esfera se deslocará a uma distância igual a seu próprio diâmetro. Concluimos, portanto, que o caso a) é prático!

OBS:. Note que deveríamos avaliar para e fizemos as contas para o limite superior. É claro que se quisermos valores de muito baixos, o experimento também não se aplicaria.

Para o caso b), temos:

Olha esse valor! Isso é o mesmo que a esfera tenha uma velocidade de , um avião super sônico chega a velocidade próximas de , você acha que esse experimento é possível? Não mesmo, né!? Ahah

Como solicitado, temos que propor condições para as quais seja possível realizar o experimento do caso b). Você consegue pensar em alguma coisa bacana?

Bom, nós só temos livre duas informações: o diâmetro da esfera e o tipo de fluido. Poderíamos aumentar o diâmetro ou diminuir a viscosidade (ao usar outro fluido menos viscoso), ou até mesmo modificar ambos simultaneamente.

Podemos assumir uma velocidade que seja razoável (exemplo: ) para o experimento e ver que diâmetro de esfera possibilitaria esse valor, fixando o fluido como sendo o óleo:

Esses valores são coerentes e permitem a realização do experimento!

Ei, jovem padawan! Vamos ver até onde essa camada-limite laminar vai. o/

Bem, para isso, vamos analisar qual é o Reynolds crítico, que no escoamento externo é esse camarada aqui

O exercício tá querendo saber o comportamento de x conforme a altitude varia. x é a posição onde a camada-limite deixa de laminar e passa a ser turbulenta. É justamente a extensão da camad-limite laminar :D

No nosso exemplo, a altitude varia, mas o Reynolds crítico e a velocidade estão fixos. Ok! Mas o que a altitude tem a ver com isso?

Bem, quando a altitude (que vamos chamar aqui de z) muda, a temperatura do ar muda. A nível do mar estamos a mais ou menos 20°C, mas lá aos 30 km de altitude, a temperatura pode chegar aos -50°C. Um pouquinho frio, né? Hahaha

O coração do exercício é: a massa específica e a viscosidade dependem da temperatura! Quanto maior a altitude, menor a temperatura e menor será e (pois é um gás). Com isso, a extensão da camada-limite laminar vai mudar. Mas como?

Então, essa é uma ótima pergunta. Para responder, vamos atrás de dados empíricos da massa específicos (vamos consultar uma tabela) e atrás de uma correlação para a viscosidade com a temperatura.

Usando a equação de Sutherland para o ar:

Considerando os valores de referência os valores ao nível do mar, montamos a seguinte tabela:

Com ela, conseguimos confirmar que a massa específica e a viscosidade diminuem com a altitude, porém com um detalhe: a massa específica decresce mais rapidamente. Como o comprimento da camada-limite é inversamente proporcional à massa específica, o comprimento aumenta com a altitude

Podemos ver isso melhor no gráfico

Então a extensão da camada-limite laminar aumenta com a altitude 😉

Olá! Nosso estudo está prestes a decolar e o exercício quer saber: “qual é a distância em que o escoamento externo do ar na camada limite sobre as asas passará de laminar a turbulento?”

O fluido que está escoando é o ar e ele escoa ao redor das asas do avião. Para saber em qual ponto o escoamento se torna turbulento, vamos calcular o Reynolds crítico.

Além disso, como se trata de um escoamento externo, o Reynolds crítico vai depender da geometria do obstáculo (no caso, o obstáculo para o escoamento do fluido é a asa avião). O valor de 2300 serve só para dutos! Ou seja, escoamento interno.

Daí, você pode estar se perguntando... Qual será exatamente a geometria da asa? O enunciado não disse, né. :/ Aliás, disse que o avião é um Boeing. Que é esse carinha aqui:

Para decidir qual será o valor do Reynolds crítico, vamos comparar essa imagem com a nossa tabela

Vamos utilizar Reynolds crítico igual a , pois vamos considerar que o escoamento do ar externo a asa do avião é mais parecido com o escoamento do ar sobre uma placa plana! Combinado?

Uma vez obtido o número de Reynolds crítico, vamos as contas!

A fórmula do Reynolds no escoamento externo é essa aqui:

Sendo justamente a distância que queremos saber: onde o escoamento se torna turbulento

Do enunciado, conhecemos a massa específica e a viscosidade do ar. Do passo 1, encontramos o Reynolds crítico. Precisamos agora passar a velocidade para o Sistema Internacional de Unidades.

Agora sim, substituindo os valores:

A distância em que a camada-limite sobre as asas se torna turbulenta é aproximadamente 0,097 metros.

Fala, aí! A primeira pergunta do exercício quer saber a velocidade numa situação crítica: quando o escoamento deixa de ser laminar e passa a ser turbulento. Como se trata de escoamento externo, precisamos definir valor de Reynolds crítico usar.

O escoamento do ar acontece numa placa de madeira (compensado). Ou seja, vamos considerar que a geometria é de uma placa plana lisa. Então:

Além disso, vimos na teoria que para o escoamento externo, essa equação é válida:

Então vamos substituir as informações do enunciado e o que acabamos de descobrir:

Quem seria o x, ou seja, a posição onde o escoamento sofre a transição de laminar para turbulento?

Vamos considerar que a placa foi colocada de tal forma que seu maior lado foi colocado na direção do movimento. Com isso, vamos assumir que esse ponto crítico x será no final do lado maior da placa, ou seja, x = 2.

Ali é onde ela vai começar a ficar turbulenta, que é justamente a condição do enunciado.

Assim, é possível calcular a velocidade

O exercício pediu a velocidade em km/h. Convertendo:

O exercício também pede a velocidade em que 90% da camada-limite é turbulenta.

A camada-limite está ao longo da placa, que tem 2 m de diâmetro. Para que 90% dela seja turbulenta, o ponto x crítico (onde a camada muda de laminar para turbulenta) deve ser nos primeiros 10% de comprimento da placa. Em matematiquês:

Substituindo

É 10 vezes a velocidade anterior, logo

A velocidade em que se desenvolve camada-limite turbulenta é calculada pelo Reynolds crítico. O enunciado facilitou nossa vida já mostrando qual o para o escoamento ao redor de uma esfera.

Estamos fazendo a consideração de todas as bolas analisadas são esféricas. Beleza? 😊

Então a fórmula do Reynolds no caso do escoamento externo em esfera lisa é

Isolando a velocidade

A viscosidade, a massa específica e o Reynolds crítico é o mesmo para os três casos, pois o fluido é o mesmo (ar) e a geometria do obstáculo é a mesma (esférica). Substituindo:

Como cada bola tem um diâmetro diferente, cada uma terá sua velocidade.

Para a bola de golfe norte-americana

Para a bola de golfe britânica

Para a bola de futebol

Encontramos as velocidades críticas para os três tipos de bola

Nesse exercício o obstáculo é uma esfera e a água escoa por fora dela. Para calcular o diâmetro, vamos usar a definição de Reynolds para escoamento externo sobre uma esfera

A massa especifica é a do fluido e viscosidade também. Substituindo

Além disso, o enunciado informa que a velocidade nos dois casos (creeping flow e transição para turbulência) é

Substituindo em Reynolds

Na letra (a), o exercício fala de um escoamento muito lento com . Nesse caso, substituímos e achamos o diâmetro da esfera

Encontramos o diâmetro da esfera para o escoamento creeping flow. 😊 É bem pequeno (da ordem do micrômetro)

Na letra (b), o exercício fala de um escoamento em transição para turbulência, com . Substituindo, vamos encontrar o diâmetro da esfera nesse outro caso

Logo, no caso em transição para a turbulência, o diâmetro da esfera é 1 m.

Faaaaala aí! Vamos analisar cada alternativa, mas antes vamos ter a camada-limite em mente? Ela pode ser representada assim:

A camada-limite está relacionada a forças viscosas e de inércia. Ou seja, nela ocorre gradiente de velocidade (a velocidade varia), como mostrado na figura.

Já pela figura podemos ver que a camada-limite pode ser laminar ou turbulenta (o que vai depender do número de Reynolds).

Com isso, podemos eliminar as alternativas D e E, pois a camada-limite não é necessariamente turbulenta ou laminar por definição. Isso vai depender das características do fluido e do escoamento 😉

Ok! Vamos voltar a letra A. Nela, diz-se que na camada-limite necessariamente se aplica Bernoulli. Quando aplicamos Bernoulli isso quer dizer que não a perdas.

Esse não é caso da camada-limite, pois nela pode ocorrer perdas, uma vez que as forças viscosas são importantes nela. Essas forças estão associadas ao atrito interno e isso implica numa perda. Portanto, a letra A está errada.

Analisando a letra B: “as equações de conservação de massa, energia e quantidade de movimento não se aplicam”

Se as equações de conservação não se aplicassem na camada-limite Lavousier ia ficar muito bravo com a gente.

Hahaha Brincadeiras a parte: Nada se cria, nem se destrói, tudo se transforma. Na camada-limite não seria diferente!

Finalmente, a letra C diz que na camada-limite não se aplica Bernoulli. Essa alternativa está certa, pois justamente por sua definição, as forças viscosas e de inércia são importantes, o que leva a perdas e assim não se aplica Bernoulli.

Partiu próximo exercício? :D