Enunciado

12 – Ar seco comprimido a Tm,i=75°C, p=10 atm, com uma vazão mássica de m ˙ = 0,001   k g / s , entra em um tubo de 30 mm de diâmetro e 5 m de comprimento que está a Ts=25°C.

(A) Determine o comprimento de entrada térmica, a temperatura média do ar na saída do tubo, a taxa de transferência de calor do ar para a parede do tubo, e a potência requerida do fluxo de ar através do tubo. Para estas condições o coeficiente de transferência de calor completamente desenvolvido é h=3,58 W/m2K.

(B) Em um esforço para reduzir o custo de capital de instalação, é proposto usar um tubo menor de 28 mm de diâmetro. Determine o comprimento de entrada térmica, a temperatura principal do ar na saída do tubo, a taxa de transferência de calor, e a potência requerida para o tubo menor. Para condições de fluxo laminar o coeficiente de transferência de calor completamente desenvolvido é inversamente proporcional ao tubo do diâmetro.

Passo 1

A)

O comprimento de entrada térmica é dado pela seguinte expressão

x t D = 0,05 R e P r

Onde,

-xt é o comprimento de entrada térmica;

-D é o diâmetro do tubo;

-Re e Pr são o nº de Reynolds e o nº de Prandtl, respectivamente.

Lembrando que para Reynolds:

R e = 4 m ˙ π μ D

Onde, μ é a viscosidade dinâmica do fluido que se relaciona com a densidade e a viscosidade cinemática da seguinte forma

μ = ρ v

Passo 2

Dados tabelados para o ar a 75ºC=350K:

ρ = 0,9950 k g m 3 ; v = 20,92 x 10 - 6 m 2 s ; P r = 0,70 ; μ = 208,2 x 10 - 7 k g m s

Calculando Re

R e = 4 0,001 k g s π ( 208,2 x 10 - 7 k g m s ) ( 0,03   m ) = 2038,5

Calculando o comprimento de entrada térmica

x t = 0,05 D R e P r

x t = 0,05 0,03   m 2038,5 0,7 = 2,14   m

Passo 3

A temperatura média na saída, Tm,o, considerando que o fluxo de calor na superfície e as propriedades sejam constantes, é dada por

T m x = T m , i + q " S P m ˙ c p x

Onde,

-Tm,i é a temperatura na entrada do tubo;

-q”S é o fluxo de calor na superfície;

-P é o perímetro;

-cp é o calor especifico;

-x é a posição axial no tubo.

Para x=L, T(L)=Tm,o

T m , o = T m , i + q " S P m ˙ c p L

O fluxo de calor na superfície pode ser calculado considerando um fluxo de calor constante pela seguinte expressão

q " S = h ( T m , i - T S )

Assim,

T m , o = T m , i + P m ˙ c p h ( T m , i - T S ) L

O perímetro do cilindro é dado por

P = π D

Assim,

T m , o = T m , i + π D m ˙ c p h ( T m , i - T S ) L

Pela Tabela:

c p = 1009 J k g K

Aplicando os valores

T m , o = 348   K + π 0,03   m 0,001 k g s 1009 J k g K 3,58 W m 2 K 75 - 25 K 5,0   m

T m , o = 431,6   K

Passo 4

A taxa de transferência de calor do ar para a parede do tubo pode ser determinada pela relação com o fluxo de calor, da seguinte forma

q = q " S A S

Onde, AS é a área superficial do cilindro que é dado por

A S = π D L

q = π D L q " S

q = π D L h ( T m , i - T S )

Aplicando os valores:

q = π 0,03 m 5,0   m 3,58 W m 2 K 75 - 25 K = 84,35   W

Passo 5

A potência requerida para o fluxo de ar vai depender da queda de pressão do ar ao longo do tubo e também de sua vazão mássica, pela seguinte expressão

W ˙ = ∆ p m ˙ ρ

Onde, Δp é a queda pressão, também conhecida como perda de carga, do ar ao longo do tubo que pode ser determinada pela eq. de Darcy-Weisbach:

∆ p = f ρ u m 2 2 D L

Onde,

- W ˙ , é a potência requerida para o fluido;

-Δp é queda de pressão do fluido no tubo;

-um é a velocidade média do fluido no tubo;

-f é o fator de atrito;

-L é o comprimento do tubo

A velocidade média pode ser expressa em termos da vazão mássica

u m = 4 m ˙ ρ π D 2

Assim,

∆ p = f ρ 4 m ˙ π ρ D 2 2 2 D L

∆ p = f 8 π 2 m ˙ 2 ρ D 5 L

Podemos determinar f a partir de correlações empíricas ou a partir do diagrama de Moody:

Para valores de Reynolds abaixo de 2300, o fator de atrito pode ser determinado pela seguinte relação:

f = 64 R e

Assim,

∆ p = 64 R e 8 π 2 m ˙ 2 ρ D 5 L

Aplicando os valores

∆ p = 64 2038,5 8 π 2 0,001 k g s 2 0,995 k g m 3 0,03   m 5 5,0   m = 5,26 P a

Calculando a potência

W ˙ = 5,26 P a 0,001 k g s 0,995 k g m 3

W ˙ = 5 , 3 x 10 - 3 W

Passo 6

B)

Analogamente ao item A)

x t D = 0,05 R e P r

R e = 4 m ˙ π μ D

Calculando Re

R e = 4 0,001 k g s π ( 208,2 x 10 - 7 k g m s ) ( 0,028   m ) = 21 8 4 , 1

Calculando o comprimento de entrada térmica

x t = 0,05 D R e P r

x t = 0,05 0,028   m 2184,1 0,7 = 2,14 m

Passo 7

Para a temperatura na saída:

T m , o = T m , i + π D m ˙ c p h ( T m , i - T S ) L

O novo valor de h, pode ser determinado por analise de semelhança em que

h 1 D 1 = h 2 D 2

h 2 = h 1 D 1 D 2 = 3,58 W m 2 K 0,03 0,028 = 3,84 W m 2 K

T m , o = 348   K + π 0,028   m 0,001 k g s 1009 J k g K 3,84 W m 2 K 75 - 25 K 5,0   m

T m , o = 431,7 K

Passo 8

Para a taxa de transferência de calor

q = π D L q " S

q = π D L h ( T m , i - T S )

Aplicando os valores:

q = π 0,028 m 5,0   m 3,84 W m 2 K 75 - 25 K = 84,45   W

Passo 9

A potência requerida para o fluxo de ar vai depender da queda de pressão do ar ao longo do tubo e também de sua vazão mássica, pela seguinte expressão

W ˙ = ∆ p m ˙ ρ

∆ p = 64 R e 8 π 2 m ˙ 2 ρ D 5 L

Aplicando os valores

∆ p = 64 2184,1 8 π 2 0,001 k g s 2 0,995 k g m 3 0,028   m 5 5,0   m = 6,94 P a

Calculando a potência

W ˙ = 6,94 P a 0,001 k g s 0,995 k g m 3

W ˙ = 7 x 10 - 3 W

Resposta

A)

x t = 2,14   m

T m , o = 431 , 6 K

q = 84,3 5   W

W ˙ = 5,3 x 10 - 3 W

B)

x t = 2,14   m

T m , o = 431,7 K

q = 84,45   W

W ˙ = 7 x 10 - 3 W

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