Enunciado

95 – Ar é forçado através de um buraco que é perfurado através de um bloco sólido de 0,5 m de espessura (de peso molecular 95 kg/kmol) que sublima no ar que flui. Considere ar a 320 K e pressão de 2 atm escoando através de um buraco de 10 mm de diâmetro com vazão de 3x10-4 kg/s. A pressão de vapor do material sublimando na interface sólido-vapor é 10 mmHg. O coeficiente de difusão do vapor no ar a 1 atm e 320 K é 2,5x10-5 m2/s. Assumindo que há somente um traço de concentração do vapor sublimado no ar na direção axial, determine o fluxo mássico local do sólido em x=0,1; 0,25 e 0,5 m. Baseado nos fluxos calculados, estime os diâmetros do buraco nas posições de x anteriores, depois de 30 minutos de operação. A densidade do material sólido é 1500 kg/m3.

Passo 1

Neste problema você vai necessitar das equações que envolve transferência de massa, lembrando dos parâmetros e variáveis associadas a transferência de massa.

Você pode modelar, a partir da expressão geral para o fluxo mássico, uma equação que você vai usar em cada valor de x e também para calcular o diâmetro.

Vamos aos cálculos.

Passo 2

O fluxo mássico local do sólido em x é dado por:

n " S = h m ( ρ S - ρ S , ∞ )

Onde,

-n”S é o fluxo mássico do vapor de sólido sublimado;

-hm é o coeficiente de transferência de massa local;

- ρ S , ∞ , é a concentração (densidade) parcial do sólido no ar;

- ρ S , é a concentração (densidade) de vapor do sólido na interface sólido-vapor;

A densidade parcial do solido no ar pode ser desprezada, pois como foi dito a concentração de sólido no ar é apenas um traço, muito pequena, então

ρ S , ∞ = 0

A densidade do vapor do sólido na interface pela pressão parcial do vapor do sólido, pegando a fração de sólido na interface, considerando a pressão do ar como a pressão total na interface

x S = p S p T

x S = 10   m m H g 1   a t m 760   m m H g 2   a t m = 0,0066

A densidade total da interface sólido-vapor pode ser considerada como a densidade do sólido, ρSólido=1500 kg/m3.

A densidade do vapor de sólido sublimado é então

ρ S = x S ρ S ó l i d o

ρ S = 0,0066 1500 k g m 3 = 9,9 k g m 3

Passo 3

O coeficiente de transferência de massa podemos calcular por Sherwood local que é dado por

S h = h m x D A B

Isolando hm

h m = D A B S h x

Podemos usar a correlação de Dittus-Boelter para o cálculo de Sherwood, cuja expressão é

S h = 0,023 R e 0,8 S c 0,4

Onde, Re é o número de Reynolds local, e Sc é número de Schmidt

R e = 4 m ˙ π μ x ; S c = v D A B

Onde, μ é a viscosidade dinâmica do ar.

Assim,

S h = 0,023 4 m ˙ π μ x 0,8 v D A B 0,4

Assim, para o coeficiente convectivo:

h m = D A B x 0,023 4 m ˙ π μ x 0,8 v D A B 0,4

Substituindo na expressão do fluxo

n " S = D A B x 0,023 4 m ˙ π μ x 0,8 v D A B 0,4 ρ S

Passo 4

Pegando os dados na tabela. Para o ar a 320K, Tabela A.4:

μ = 194 x 10 - 7 k g m s ; v = 17,9 x 10 - 6 m 2 s

Calculando os fluxos

-x=0,1 m:

n " S = 2,5 x 10 - 5 m 2 s 0,1   m 0,023 4 3 x 10 - 4 k g s π 194 x 10 - 7 k g m s ( 0,1   m ) 0,8 17,9 x 10 - 6 m 2 s 2,5 x 10 - 5 m 2 s 0,4 9,9 k g m 3

n " S = 0,00341 k g s . m 2

-x=0,25 m:

n " S = 2,5 x 10 - 5 m 2 s 0,25   m 0,023 4 3 x 10 - 4 k g s π 194 x 10 - 7 k g m s ( 0,25   m ) 0,8 17,9 x 10 - 6 m 2 s 2,5 x 10 - 5 m 2 s 0,4 9,9 k g m 3

n " S = 0,00 065 k g s . m 2

-x=0,5 m:

n " S = 2,5 x 10 - 5 m 2 s 0,5   m 0,023 4 3 x 10 - 4 k g s π 194 x 10 - 7 k g m s ( 0,5   m ) 0,8 17,9 x 10 - 6 m 2 s 2,5 x 10 - 5 m 2 s 0,4 9,9 k g m 3

n " S = 0,00 02 k g s . m 2

Passo 5

Agora que temos os fluxos, vamos calcular os diâmetros do buraco, que deveria aumentar com o tempo, pois o sólido vai sendo sublimado, perdendo massa e volume, e assim aumento o buraco do bloco.

Vamos determinar o diâmetro analisando o fluxo. O fluxo é a taxa mássica, isto é, a massa por tempo, divido pela área da superfície, A.

n " S = m S t A

A área da superfície é dada pela área da superfície de um cilindro, que é

A = π D x

A massa do sólido, mS, pode ser escrita em termos da densidade e do volume do sólido

m S = ρ S ó l i d o V S

Onde, para o volume do sólido, vamos considerar que o bloco é um bloco cubico, assim

V S = e 3

Sendo e a espessura do bloco, que por ser cúbico, seu comprimento e largura são da mesma dimensão da espessura. No entanto o volume do sólido varia com o diâmetro odo buraco, em que o volume reduz conforme o diâmetro aumenta

V S = e 3 - V B u r a c o

Onde o volume do buraco é um volume do cilindro:

V B u r a c o = π 4 D 2 x

Assim,

V S = e 3 - π 4 D 2 x

Passo 6

Substituindo essas relações na expressão do fluxo

n " S = e 3 - π 4 D 2 x t π D x

Isolando D

t π D x n " S = e 3 - π 4 D 2 x

π 4 D 2 x + t π D x n " S - e 3 = 0

π 4 x D 2 + t π x n " S D - e 3 = 0

Chegamos em uma expressão do segundo grau para encontrarmos D, assim pela Fórmula de Bhaskara:

D = - t π x n " S + ( t π x n " S ) 2 - 4 π 4 x - e 3 2 π 4 x

Vamos agora calcular os diâmetros para cada posição de x, com t=30min=1800s

-x=0,1 m:

D = - ( 1800 s ) π ( 0,1 ) 0,00341 + 1800 π 0,1 0,00341 2 - 4 π 4 ( 0,1 ) - ( 0,5 ) 3 2 π 4 ( 0,1   )

D = 0,005   m = 5 m m

-x=0,25 m:

D = - 1800 π 0,25 0,00065 + 1800 π 0,25 0,00065 2 - 4 π 4 0,25 - 0,5 3 2 π 4 0,25

D = 0,03   m = 30 m m

-x=0,5 m:

D = - 1800 π 0,5 0,0002 + 1800 π 0,5 0,0002 2 - 4 π 4 ( 0,5 ) - ( 0,5 ) 3 2 π 4 ( 0,5   )

D = 0,09 m = 90 m m

Resposta

-x=0,1 m:

n " S = 0,00341 k g s . m 2

D = 5 m m

-x=0,25 m:

n " S = 0,00065 k g s . m 2

D = 30 m m

-x=0,5 m:

n " S = 0,0002 k g s . m 2

D = 90 m m

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