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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 127

3.127 Quando uma bola de polo aquático é imersa abaixo da superfície em uma piscina e solta a partir do repouso, observa­se que a mesma pula para fora d’água. Qual seria a altura provável atingida pela bola fora d’água em função da profundidade de submersão da bola na piscina? Você esperaria o mesmo resultado para uma bola de praia? E para uma bola de tênis de mesa?

Passo 1

Primeiro, precisamos calcular quais são as vetores que atuam na bola quando ela está submersa e subindo:

Para cima:

V e l o c i d a d e = V o

Para baixo:

F a = 1 2 C d . ρ . V 2 . A

P = m . g

Fazendo o balanço de forças colocando a força positiva para cima:

F y =   - F a - P = m a y

- 1 2 C d . ρ . V 2 . A - m . g = - m . d V d t

Passo 2

Ajustando a equação formada, dividindo por m,isolando dV/dt e substituindo dt por dy/V

- 1 2 C d . ρ . V 2 . A - m . g = m . d V d t

d V d y V = - 1 2 C d . ρ . V 2 . A m - g

Resolvendo esta EDO separável:

V . d V 1 + C d . A . ρ . V 2 m g . 2 = - g . d y

Passo 3

Por fim teremos a altura máxima como a seguinte equação:

y max ⁡ = - m C d . ρ . A . ln ⁡ 1 + C d . A . ρ . V 2 m g . 2 =   - m C d . ρ . A . ln ⁡ 1 + F a m g  

Passo 4

Se a gente desconsiderar o arrasto, a altura máxima será dada por:

y max ⁡ =   - V o 2 2 g

Para uma bola pequena, de tênis de mesa, onde o atrito é mínimo:

lim C d → 0 ⁡ y m a x =   lim C d → 0 ⁡   m C d . A . ρ C d . A . ρ . V 2 m g . 2 = V o ² 2 g

Resposta

y max ⁡ = - m C d . ρ . A . ln ⁡ 1 + F a m g  

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