Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 69
Em alguns sistemas de amortecimento, um disco circular imperso em óleo é usado como amortecedor, como mostrado na figura. Demonstre que o torque de amortecimento é proporcional à velocidade angular de acordo com a fórmula , onde .Suponha perfis de velocidade lineares de ambos os lados do disco e despreze os efeitos das bordas.
Passo 1
Vamos lá então! O que a questao ta pedindo pra a gente provar que :
Sendo que:
Para isso a gente tem que supor perfis de velocidade lineares e desprezar os efeitos de borda.
Mas como a gente prova isso?
A gente tem que calcular o torque e chegar nessa relação que o enunciado deu pra a gente. É como se o enunciado tivesse dado o gabarito e agora a gente tem que encontrar meios de chegar lá! Belezinha?
Então vamos as fórmulas que vamos precisar:
Primeiro o torque:
Onde é a força e é a distância, nesse caso a distância vai ser o raio .
A força por sua vez é expressa como:
Onde é a tensão de cisalhamento provocada pelo óleo no disco e é a área do disco onde essa tensão é aplicada, determinda por:
E é expresso como:
Onde é a viscosidade do fuido e é o gradiente de velocidade. Maas o enunciado falou que era pra a gente considerar perfis de velocidade lineares, então podemos considerar:
Para a parte superior do disco. Onde é a velocidade tangencial do fluido em função de e é a espessura do fluido.
ATENÇÃO: é uma icógnita e não uma constante, isso quer dizer que a velocidade vai variar em diferentes pontos!
De forma similar, temos:
Onde é a espessura do fluido inferior.
Agora que temos nossas ferramentas, bora colocar a mão na massa!
Passo 2
Vamos começar calculando a tensão de cisalhamento superior, .
Substituindo o gradiente de velocidade na fórmula de tensão, temos:
Lembra que eu falei que é uma icógnita e não uma constante? Então, para calcularmos o torque, vamos precisar integrar área.
Para isso vamos derivar a força em relação a área:
Substituindo :
Agora vamos derivar o torque em relação a força:
Substituindo :
Sabendo que:
Então:
Substituindo:
Chegamos a uma expressão que já esta relacionando com ! Agora vamos ver onde isso vai dar!
Passo 3
Agora é integrar!!
Integrando dos dois lados:
Resolvendo a integral:
De forma análoga, temos o torque inferior, .
Agora podemos calcular :
Substituindo:
Organizando:
Ou:
Passo 4
Vamos comparar!?
Onde:
Ficamos com:
O enunciado diz:
E:
Esta provada a relação!!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)