Analise o escoamento através de uma expansão súbita para obter uma expressão para a velocidade média V - 1 em termos da variação de pressão ∆ p = p 2 - p 1 , da razão de áreas R A , da massa específica ρ e do coeficiente de perda K . Se o escoamento fosse sem atrito, a vazão indicada por uma variação de pressão medida seria maior ou menor do que a vazão real, e por quê? Ou ainda, se o escoamento fosse sem atrito, uma dada vazão daria uma variação de pressão maior ou menor do que a variação real, e por quê?

Passo 1

Neste problema é pedido a vazão volumétrica de fluido em uma tubulação que sofre expansão súbita.

Será utilizada a Equação da Energia na forma:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l T

Como hipótese e dados do enunciado tem-se que;

- regime permanente ( ∂ / ∂ t = 0 );

- escoamento horizontal ( z 1 = z 2 );

- escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2   );

- α ≈ 1,0 ;

- ∆ p = p 2 - p 1 ;

- perdas por atrito no tubo são desprezíveis comparadas com as perdas de entrada e de saída:

h l T = f L D V 2 2   2 ⏞ ≈ 0   + K V 1 2 2

h l T =   K V 1 2 2

Passo 2

Usando a Equação de Energia, em J/kg, entre as seções 1 e 2:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l T

p 2 ρ - p 1 ρ = α V 1 2 2 - α V 2 2 2 + g z 1 - g z 2 - h l T

p 2 - p 1 = ρ α V 1 2 - V 2 2 2 + ρ g z 1 - z 2 - ρ h l T

Sabendo a expressão de h l T , que z 1 = z 2 e α ≈ 1 :

∆ p = ρ V 1 2 - V 2 2 2 - ρ K V 1 2 2

Passo 3

Escrevendo V 2 em função de V 1 e usando a equação da continuidade:

Q 1 = Q 2

V 1 A 1 = V 2 A 2

V 2 = V 1 A 1 A 2 = V 1 R A

Passo 4

O aumento de pressão pode ser reescrito como:

∆ p = ρ V 1 2 - V 1 R A 2 2 - ρ K V 1 2 2

∆ p = ρ V 1 2 - V 1 2 R A 2 2 - ρ K V 1 2 2

∆ p = ρ V 1 2 2 1 - R A 2 - K

Passo 5

Isso o termo V 1 2 obtido no Passo 4:

∆ p = ρ V 1 2 2 1 - R A 2 - K

V 1 2 = 2 ∆ p ρ 1 - R A 2 - K

Logo, a velocidade é definida como:

V 1 = 2 ∆ p ρ 1 - R A 2 - K

Passo 6

Considerando escoamento sem o efeito de atrito a velocidade será:

V 1 s e m   a t r i t o = 2 ∆ p ρ 1 - R A 2 - K ⏟ = 0  

V 1 s e m   a t r i t o = 2 ∆ p ρ 1 - R A 2

No caso do escoamento sem efeito de atrito a velocidade V 1 s e m   a t r i t o torna-se menor, ou seja:

V 1 s e m   a t r i t o < V 1

Nessa situação, mantendo-se o aumento de pressão ∆ p , a vazão será menor.

Passo 7

Considerando escoamento sem o efeito de atrito o aumento de pressão ∆ p será:

∆ p s e m   a t r i t o = ρ V 1 2 2 1 - R A 2 - K ⏞ 0

∆ p s e m   a t r i t o = ρ V 1 2 2 1 - R A 2

Ao comparar o aumento de pressão na situação com atrito e sem atrito tem-se que:

∆ p s e m   a t r i t o > ∆ p  

Logo, pode-se afirmar que no caso de escoamento sem atrito o aumento de pressão é maior.

Resposta

V 1 = 2 ∆ p ρ 1 - R A 2 - K

V 1 s e m   a t r i t o < V 1

∆ p s e m   a t r i t o > ∆ p  

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