Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 95
Um bloco cilíndrico de alumínio (ρ = 2702 kg/m³, , ), de 30 de altura e 15 de diâmetro, está inicialmente a uma temperatura uniforme de . O bloco é aquecido no forno a 1200 °C, até a temperatura no seu centro subir para 300 °C. Considerando que o coeficiente de transferência de calor em todas as superfícies do bloco é , determine por quanto tempo o bloco deve ser mantido no forno. Além disso, determine a quantidade de calor transferido a partir do bloco de alumínio se ele for colocado para esfriar na sala até que sua temperatura caia para 20 °C.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.
Em primeiro lugar, o problema trata de um cilindro curto. Sabe o que isso significa? A transferência de calor ocorre tanto na direção x quanto na direção r para desse cilindro, pois suas dimensões são muito próximas.
No entanto, como todo o cilindro está imerso no mesmo fluido (ar) e submetido ao mesmo coeficiente de transferência de calor, além de não haver geração, podemos aproximar a resolução desse cilindro multidimensional como o produto das soluções analíticas de um cilindro infinito e de uma parede plana, dessa forma:
Ou seja:
Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:
Passo 2
Para resolver o problema, vamos supor que todos os valores de Números de Fourier (τ) são maiores que 0,2, para aproximar as soluções individuais dos perfis de temperatura para:
Vamos lembrar que a dimensão característica para um cilindro infinito é o seu raio (R) e para uma parede plana submetida a convecção em ambos os lados é metade de sua espessura total, que, nesse caso, é a altura do cilindro (2L). Assim:
Vamos deixar os valores do Número de Fourier em função do tempo:
Agora, vamos calcular o número de Biot para as duas geometrias:
Iremos agora até a Tabela 4-2 (página 239), onde vamos usar os valores de para ambas as geometrias para encontrar e para as duas.
Para o cilindro infinito, iremos fazer uma interpolação entre os valores de e
:
Para a parede plana, vamos aproximar o valor para , que é tabelado:
Passo 3
Vamos agora calcular o tempo para que a temperatura no centro do cilindro atinja 300 . Bem, o centro do cilindro aqui é basicamente o ponto onde e , bastando que a gente substitua nas soluções unidimensionais que eu te mostrei no passo anterior.
Primeiro, vamos resolver para o cilindro infinito:
Devemos ir até a Tabela 4-3 (página 239) para encontrar o valor de .
Pela Tabela, . Sendo assim:
Agora, vamos resolver para a parede plana:
Pois .
Agora, basta multiplicar as soluções para encontrar o resultado para o cilindro curto:
Devemos lembrar, ainda, que
Sendo assim:
Sendo assim:
Para encontrar o valor de t, devemos aplicar l de ambos os lados:
Além disso,
Logo a hipótese que assumimos no começo estava correta.
Passo 4
O problema pede que a gente a transferência total de calor para o cilindro voltar a 20 .
Presta atenção nesse insight: pra calcular a quantidade de calor total que o cilindro deve perder para voltar à temperatura inicial, basta que a gente calcule a quantidade de calor necessária para ele ir de 20 até os 300 no centro com os dados que já possímos.
Para isso, vamos utilizar a seguinte equação:
Para calcular a quantidade de calor transferido para as geometrias analisadas usamos as seguintes equações:
Mas, antes de tudo, devemos calcular o valor de que é a quantidade de calor máxima que pode ser transferida do cilindro:
Onde é o volume do cilindro.
Assim:
Devemos calcular também:
Devemos ir novamente na Tabela 4-3, onde iremos encontrar partir da interpolação entre os valores de e disponíveis na tabela.
Logo, obtemos:
Além disso, vamos calcular para a parede plana:
Agora sim, finalmente podemos calcular a quantidade total de calor trocada pelo cilindro:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)