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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 22

Com uma boa aproximação, a viscosidade dinâmica μ, a condutividade térmica k e o calor específico cp são independentes da pressão. De que forma a viscosidade cinemática v e a difusividade térmica α de um líquido incompressível e de um gás ideal variam com a pressão? Determine α do ar a 350 K para pressões de 1, 5 e 10 atm. Supondo um número de Reynolds de transição de 5 × 105, determine a distância da aresta frontal de uma placa plana na qual a transição irá ocorrer para o ar a 350 K em pressões de 1, 5 e 10 atm, com u∞ = 2 m/s.

Passo 1

Vamo analisar o enunciado junto pra entender o que ele quer de você.

Primeiro, o enunciado afirma que a viscosidade dinâmica μ, a condutividade térmica k e o calor específico c p   são independentes da pressão. Podemos então mostrar como a viscosidade cinemática ν e a difusividade térmica α de um líquido incompressível e de um gás ideal variam com a pressão.

Vamos lembrar as definições de ν e α:

ν =   μ ρ

α =   k ρ c p

Vamos analisar então a variação de ρ para os dois casos analisados:

  • Para um líquido incompressível, ρ não varia com a pressão, portanto nem ν nem α variam com a pressão;
  • Para um gás ideal, ρ =   P R T , sendo P a pressão, R constante específica do ar e T a temperatura em K .

Nos próximos passos, vamos calcular ν e α para o ar a 350   K , além de calcular a distância da aresta para ar escoando a 350   K e velocidade u ∞   =   2   m / s , com Número de Reynolds crítico de 5   ×   10 5 .

Antes de irmos para os próximos passos, vamos buscar as propriedades do ar na Tabela A.4 (página 634):

R = 287 J k g . K c p = 1009 J k g .   K μ = 2,082 x 10 - 5   N . s m ² k = 0,03 W m . k

Passo 2

Primeiro, a gente vai calcular os valores de ν e α para o ar a diferentes pressões, utilizando as propriedades que achamos para o ar a 350   K . Fique ligado na sequência: primeiro a gente calcula as densidades ( ρ ) , e só depois a viscosidade cinemática e a difusividade térmica.

Vamo lá:

  1. P   =   1   a t m =   101325   P a

    2. Logo, a massa específica é:

    ρ =   P R T =   101325   P a 287 J k g . K 350   K =   1,0087 k g m ³

    Portanto, ν e α são:

    ν =   μ ρ = 2,082 x 10 - 5   N . s m ² 1,0087 k g m ³ = 2,06 x 10 - 5 m 2 s

    α =   k ρ c p = 0,03 W m . k 1,0087 k g m ³ 1009 J k g .   K = 2,95 x 10 - 5 m 2 s

  2. P   =   5   a t m =   506625   P a

    3. Logo, a massa específica é:

    ρ =   P R T =   506625   P a 287 J k g . K 350   K =   5,0435 k g m ³

    Portanto, ν e α são:

    ν =   μ ρ = 2,082 x 10 - 5   N . s m ² 5,0435 k g m ³ = 4,13 x 10 - 6 m 2 s

    α =   k ρ c p = 0,03 W m . k 5,0435 k g m ³ 1009 J k g .   K = 5,90 x 10 - 6 m 2 s

  3. P   =   10   a t m =   1,013 x 10 6   P a

Logo, a massa específica é:

ρ =   P R T =     1,013 x 10 6   P a 287 J k g . K 350   K =   10,0846 k g m ³

Portanto, ν e α são:

ν =   μ ρ = 2,082 x 10 - 5   N . s m ²   10,0846 k g m ³ = 2,06 x 10 - 6 m 2 s

α =   k ρ c p = 0,03 W m . k 10,0846 k g m ³ 1009 J k g .   K = 2,95 x 10 - 6 m 2 s

Passo 3

Agora, pra fechar a questão, vamos calcular as distâncias das arestas da placa onde vão ocorrer a transição dos escoamentos laminares para turbulentos ( x c r ) para cada uma das três pressões.

Vamos lembrar como calcular o número de Reynolds Crítica:

R e x , c r =   ρ u ∞ x c r μ

Reorganizando para explicitar x c r :

x c r = μ R e x , c r ρ u ∞

Vamos agora calcular esses valores para cada uma das pressões indicadas no enunciado. Vale lembrar que as massas específicas continuam sendo aquelas que já calculamos no passo anterior!

  1. P   =   1   a t m =   101325   P a

    2. x c r = μ R e x , c r ρ u ∞ =   2,082 x 10 - 5   N . s m 2 5 x 10 5   1,0087 k g m 3 ( 2 m s ) = 5,16   m

  2. P   =   5   a t m =   506625   P a

    3. x c r = μ R e x , c r ρ u ∞ =   2,082 x 10 - 5   N . s m 2 5 x 10 5 5,0435 k g m ³ ( 2 m s ) = 1,03   m

  3. P   =   10   a t m =   1,013 x 10 6   P a

x c r = μ R e x , c r ρ u ∞ =   2,082 x 10 - 5   N . s m 2 5 x 10 5 5,0435 k g m ³ ( 2 m s ) = 0,52   m

Pronto, matamos a questão juntos! :)

Resposta

Os valores das propriedades em diferentes pressões são:

P   =   1   a t m → ν = 2,06 x 10 - 5 m 2 s α = 2,95 x 10 - 5 m 2 s x c r = 5,16   m

P   =   5   a t m → ν = 4,13 x 10 - 6 m 2 s α = 5,90 x 10 - 6 m 2 s x c r = 1,03   m

P =   10   a t m → ν = 2,06 x 10 - 6 m 2 s α = 2,95 x 10 - 6 m 2 s x c r = 0,52   m

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