Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 28
Experimentos mostraram que, para um escoamento de ar a T∞ = 35°C e V1 = 100 m/s, a taxa de transferência de calor em uma pá de turbina com comprimento característico L1 = 0,15 m e temperatura superficial Ts,1 = 300°C é de q1 = 1500 W. Qual seria a taxa de transferência de calor em uma segunda pá de turbina com comprimento característico L2 = 0,3 m operando a Ts,2 = 400°C em um escoamento de ar a T∞ = 35°C e V2 = 50 m/s? A área superficial da pá pode ser considerada diretamente proporcional ao seu comprimento característico.
Passo 1
Vamo analisar o enunciado junto pra entender o que ele quer de você.
Bem, temos duas pás de turbina de mesma forma, que estão em contato com ar atmosférico e trocando calor por convecção. Dessa forma, queremos calcular os coeficientes de convecção médios para os dois casos e, depois, a taxa de transferência de calor para a segunda pá de turbina.
Para isso, primeiro devemos lembrar que o número de Nusselt é:
Sendo o coeficiente de convecção médio, o comprimento característico do objeto de forma irregular e a condutividade térmica do fluido em questão (ar).
Dessa maneira, o número de Nusselt pode ser entendido como uma função dos números de Reynolds e Prandtl, como segue:
Esses últimos adimensionais podem ser calculados da seguinte forma:
Sendo a velocidade de escoamento do ar, o comprimento característico do objeto de forma irregular, a viscosidade cinemática do ar, a viscosidade dinâmica do ar, o calor específico do ar e a condutividade térmica do ar.
No próximo passo, vamos então combinar esses adimensionais e analisar os casos específicos das duas turbinas para encontrar uma relação entre seus coeficientes de transferência de calor.
Em seguida, vamos calcular a taxa de transferência de calor para a turbina 2.
Antes da gente passar pro próximo passo, guarde aqui algumas grandezas que a gente vai usar, lembrando que eu dividi os casos entre 1 e 2 pra ficar mais fácil pra você:
Passo 2
Em primeiro lugar, vamos calcular os números de Reynolds para as duas situações:
Como afirma o enunciado da questão, as temperaturas da superfície das duas turbinas são e , e a temperatura ado fluido é igual para ambas, . Como as propriedades físicas são avaliadas na temperatura do filme (), as temperaturas das duas situações ficam numa faixa de temperatura na qual podemos considerar as propriedades do ar constantes.
Com isso em mente, e como sabemos que a viscosidade cinemática é uma propriedade que depende da temperatura, então . Olhando para os números de Reynolds lá em cima, isso nos faz concluir que .
Vamos agora olhar pros números de Prandtl para as duas situações:
Novamente, todas as propriedades utilizadas para calcular o número de Prandtl são dependentes temperatura do ar, o que significa dizer que .
Nesse momento, vamo voltar pro Passo 1. Lembra que eu te mostrei que o número de Nusselt é uma função dos função dos números de Reynolds e Prandtl? Ou seja, como esses dois adimensionais são iguais pras situações 1 e 2, nossa conclusão é que:
Logo,
Podemos reorganizar a equação para deixar em função de :
Passo 3
Vamo finalizar a questão calculando a taxa de transferência de calor para a segunda situação.
Em primeiro lugar, devemos lembrar das equações da taxa de transferência de calor por convecção:
Segundo o enunciado, as áreas superficiais das turbinas são diretamente proporcionais aos comprimentos característicos delas. Dessa forma, considerando uma constante de proporcionalidade qualquer, as áreas superficiais para as duas turbinas podem ser expressas como:
E, portanto, os coeficientes de transferência de calor podem ser expressos como:
Como descobrimos uma relação entre os dois coeficientes no Passo 2, podemos encontrar a seguinte relação para as taxas de transferência de calor:
Substituindo os valores, encontramos:
Pronto, matamos a questão juntos! :)
Resposta
A taxa de transferência de calor para a segunda pá é .