Uma bola de tênis com uma massa de 57g e diâmetro de 6,4 cm é rebatida com uma velocidade inicial de 92 km/h e uma rotação para trás de 4200 rpm. Determine se a bola cairá ou subirá sob o efeito combinado da gravidade e sustentação devido à rotação logo depois de ser lançada. Suponha que o ar está a 1 atm e 25°C.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, para o problema, assumimos primeiramente que:

1. A superfície externa da bola é lisa (para a obtenção do coeficiente de sustentação C L ).

2. A bola é atingida horizontalmente para que ele inicie seu movimento horizontalmente.

O enunciado pede para determinar se a bola cairá ou subirá sob o efeito combinado da gravidade e sustentação devido à rotação logo depois de ser lançada.

De acordo com os tópicos assumidos, podemos analisar o problema: Vamos encontrar a força de sustentação exercida na bola, que terá sentido vertical, paralelo ao sentido do movimento. Assim, depois podemos comparar a força de sustentação encontrada com a força peso exercida na bola para definir se a bola cairá ou subirá.

Do problema, temos:

ω = 4200   r p m = 440 r a d s         V = 92 k m h r = 25,56 m s             D = 6,4   c m         m = 57 g    

E a densidade específica e viscosidade cinemática do ar (Tabela A-9) a 1 atm e 25°C são:

ρ = 1,184 k g m 3         e         v = 1,562 ⋅ 10 - 5 m 2 s

Passo 2

Então, devemos lembrar que a força de sustentação é dada por:

F L = C L A ρ V 2 2

Para encontrarmos o coeficiente de sustentação C L podemos analisar a figura 11-53, que mostra um gráfico da razão ω D 2 V versus C L , para uma esfera lisa. Então, a razão ω D 2 V é:

ω D 2 V = 440 r a d s ⋅ 0,064   m 2 ⋅ 25,56 m s = 0,551   r a d

Para o valor de ω D 2 V = 0,551   r a d , no gráfico da figura 11-53, podemos inferir que o valor de C L correspondente é C L = 0,11 .

Obs: Se observarmos bem a figura 11-53, o gráfico tem boa aplicação quando o Número de Reynolds ( R e ) tem valor de R e = 6 ⋅ 10 4 . Afim da validação dessa condição, o R e do problema é:

R e = V D v = 25,56 m s ⋅ 0,064   m 1,562 ⋅ 10 - 5 m 2 s = 1,05 ⋅ 10 5

Assim, o R e fica perto o suficiente do tabelado, o que indica que o resultado do C L encontrado está bem próximo do real.

E a área da seção (horizontal ou vertical) de uma esfera é um círculo, e sabemos que sua área é dada por:

A = π D 2 4

Passo 3

Assim, a força é:

F L = C L π D 2 4 ρ V 2 2 = 0,11   π ( 0,064 ) 2 4 1,184   k g / m 3 ⋅ ( 25,56   m / s ) 2 2               → F L = 0,14   N

Tendo descoberto o valor da força de sustentação, vamos agora encontrar o valor do peso da esfera, que pode ser encontrado por:

P = m g = 0,057   k g ⋅ 9,81 m s 2             → P = 0,56   N

Portanto, a bola cairá sob o efeito combinado da gravidade e sustentação devido à rotação logo depois de ser lançada, pois a Força Peso é maior que a Força de Sustentação ( P > F L ).

Resposta

Portanto, a bola cairá sob o efeito combinado da gravidade e sustentação devido à rotação logo depois de ser lançada.

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