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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 103

Considere uma casca cilíndrica de comprimento L, raio interno r 1 e raio externo r 2 cuja condutividade térmica varia linearmente no intervalo específico de temperaturas, com k T = k 0 1 + β T , onde k 0 e β são duas constantes especificadas. A superfície interna da casca é mantida a uma temperatura constante T 1 , enquanto a superfície externa é mantida a uma temperatura T 2 . Considerando que a transferência de calor é unidimensional e permanente, obtenha a relação para (a) a taxa de transferência de calor através da parede e (b) a distribuição de temperatura T r na casca.

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, sem geração de calor, mas a condutividade térmica não é constante.

Como queremos determinar a taxa de transferência de calor através da casca cilíndrica, podemos utilizar a seguinte relação já desenvolvida neste capítulo:

Q ˙ c i l i n d r o = 2 π ⋅ k m é d ⋅ L ⋅ T 1 - T 2 ln ⁡ r 2 r 1

A questão é quem é esse k m é d . Como a nossa função condutividade térmica é linear, podemos substituir a temperatura média nela que obteremos esse valor k m é d , pois, neste caso, temos:

k m é d = k T m é d

Logo,

k m é d = k 0 1 + β T 1 + T 2 2

Substituindo esta relação na taxa de transferência de calor da casca, obtemos:

Q ˙ c i l i n d r o = 2 π ⋅ k 0 1 + β T 1 + T 2 2 ⋅ L ⋅ T 1 - T 2 ln ⁡ r 2 r 1

E assim respondemos a nossa letra a)!

Passo 2

Já para resolvermos a letra b), que nos pede para determinarmos a distribuição de temperatura na casca, vamos ter de partir da forma diferencial da lei de Fourier. Ela nos diz que:

Q ˙ = - k T ⋅ A ⋅ d T d r

Q ˙ = - k 0 1 + β T ⋅ 2 π r L d T d r

Agora, basta resolvermos esta equação diferencial. Isolando os termos diferenciais e integrando a partir da camada mais interna, temos:

Q ˙ r d r = - 2 π k 0 1 + β T d T

Q ˙ ∫ r 1 r d r r = - 2 π k 0 ∫ T 1 T 1 + β T d T

Q ˙ ⋅ ln ⁡ r r 1 r = - 2 π k 0 ⋅ T + β T 2 2 T 1 T

Q ˙ ⋅ ln ⁡ r r 1 = - 2 π k 0 ⋅ T + β T 2 2 - T 1 - β T 1 2 2

β T 2 2 + T + Q ˙ 2 π k 0 ⋅ ln ⁡ r r 1 - T 1 - β T 1 2 2 = 0

Percebam que o termo Q ˙ é aquele mesmo que calculamos na letra a). Agora, para obtermos a função temperatura na casca esférica, basta resolvermos a equação do segundo grau acima. Portanto, temos:

T r = - 1 + 1 - 2 β Q ˙ 2 π k 0 ⋅ ln ⁡ r r 1 - T 1 - β T 1 2 2 β

Resposta

  1. Q ˙ c i l i n d r o = 2 π ⋅ k 0 1 + β T 1 + T 2 2 ⋅ L ⋅ T 1 - T 2 ln ⁡ r 2 r 1

T r = - 1 + 1 - 2 β Q ˙ 2 π k 0 ⋅ ln ⁡ r r 1 - T 1 - β T 1 2 2 β

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