64 – Considere um tubo de comprimento , raio interno , raio externo e condutividade térmica por onde passa água refrigerada. A água flui pelo tubo a uma temperatura e o coeficiente de transferência de calor na superfície interna é . Considerando que o tubo é bem isolado na superfície externa, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para a condução de calor unidimensional permanente através do tubo e (b) obtenha a relação para a variação da temperatura no tubo resolvendo a equação diferencial.

a)

Como a transferência de calor por condução é igual à transferência de calor por convecção.

Portanto,

Aqui,  é a condutividade térmica, é o gradiente de temperatura em relação ao raio do tubo,  é o coeficiente de transferência de calor,  é a temperatura da água e é a temperatura do tubo no raio considerado.

Escreva a equação unidimensional de condução de calor em estado estacionário sem geração interna de calor para as coordenadas cilíndricas,

Integre com relação ao .

Aqui está a constante arbitrária.

Novamente, integre a equação acima em relação a .

Aqui está a constante de integração.

Aplique condições de contorno, pois a superfície externa é isolada, a taxa de transferência de calor será zero a partir da superfície externa.

No , 

Substitua  por 0 a equação (2).

Substitua isso na equação (2).

Porque em existe um bom isolamento que leva a transferência de calor para zero.

Portanto, a equação diferencial para a condução de calor unidimensional através do tubo é .

b) Integre a equação (2) em relação a .

Aqui  é a constante de integração.

Substitua 0 por .

Na superfície interna , a temperatura é .

Aplique a condição de contorno na superfície interna.

Substituo  por , em  e para a equação (2).

 

 

Substitua  na equação (1).

Pela equação (3), (4) e (5).

Portanto, a relação para a variação de temperatura no tubo é