Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 104
Considere uma casca esférica de raio interno e raio externo cuja condutividade térmica varia linearmente no intervalo específico de temperaturas, com , onde e são duas constantes especificadas. A superfície interna da casca é mantida a uma temperatura constante , enquanto a superfície externa é mantida a uma temperatura . Considerando que a transferência de calor é unidimensional e permanente, obtenha a relação para (a) a taxa de transferência de calor através da casca e (b) a distribuição de temperatura na casca.
Passo 1
O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, sem geração de calor, mas a condutividade térmica não é constante.
Como queremos determinar a taxa de transferência de calor através da casca esférica, podemos utilizar a seguinte relação já desenvolvida neste capítulo:
A questão é quem é esse . Como a nossa função condutividade térmica é linear, podemos substituir a temperatura média nela que obteremos esse valor , pois, neste caso, temos:
Logo,
Substituindo esta relação na taxa de transferência de calor da casca, obtemos:
E assim respondemos a nossa letra a)!
Passo 2
Já para resolvermos a letra b), que nos pede para determinarmos a distribuição de temperatura na casca, vamos ter de partir da forma diferencial da lei de Fourier. Ela nos diz que:
Agora, basta resolvermos esta equação diferencial. Isolando os termos diferenciais e integrando a partir da camada mais interna, temos:
Percebam que o termo é aquele mesmo que calculamos na letra a). Agora, para obtermos a função temperatura na casca esférica, basta resolvermos a equação do segundo grau acima. Portanto, temos: