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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 127

Considere um cilindro curto de raio r 0 e altura H , no qual há geração de calor a uma taxa constante de e ˙ g e r . Calor é perdido da superfície cilíndrica em r = r 0 por convecção para o meio ao redor, uma temperatura T ∞ com coeficiente de transferência de calor h . A superfície inferior do cilindro em z = 0 está isolada, enquanto a superfície superior em z = H está sujeita a um fluxo de calor uniforme q ˙ H . Assumindo que a condutividade térmica é constante e a transferência de calor é bidimensional permanente, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições inicial e de contorno) desse problema de condução de calor. Não resolva o problema.

Passo 1

Um problema de calor bidimensional sempre é complicado de resolver. Contudo, ainda bem, só precisamos fazer a sua formulação matemática!

Para fazermos a formulação, é fundamental entendermos as condições que o nosso problema está sujeito. Desta forma, temos um problema de calor bidimensional em regime transiente, com geração de calor e com condutividade térmica constante. Além disto, é importante relembrar que estamos trabalhando com um sólido cilíndrico com condução em relação ao eixo axial e radial.

Utilizando o sistema de coordenadas cilíndrico, temos a seguinte equação diferencial que rege o nosso problema:

1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + ∂ 2 T ∂ z 2 + e ˙ g e r k = 1 α ∂ T ∂ t

Percebam que esta EDP é bem semelhante ao caso unidimensional. A única diferença é a adição de mais um termo, referente ao eixo axial do cilindro!

Passo 2

Agora, vamos escrever as condições de contorno do nosso problema. Começaremos pela superfície isolante. Por causa desta condição, não há condução de calor na parte inferior do cilindro. Logo, temos:

∂ T ∂ z z = 0 = 0

Além disto, devido a simetria do nosso cilindro, não temos condução de calor no eixo axial. Desta forma, temos:

∂ T ∂ r r = 0 = 0

Como o texto diz que a superfície z = H está sujeita a um fluxo de calor, iremos assumir que este fluxo está “entrando” no cilindro. Por causa disto, ele terá sinal negativo. Portanto, a condução de calor nesta superfície é exatamente igual a este fluxo de calor. Logo,

- k ∂ T ∂ z z = H = - q ˙ H

Por fim, temos a condução de calor na superfície em que r = r 0 . Nesta superfície, temos a ação da convecção. Sendo assim, a última condição de contorno é:

- k ∂ T ∂ r r = r 0 = h T r 0 , z - T ∞

Resposta

A equação diferencial que rege o nosso problema é:

1 r ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r + ∂ 2 T ∂ z 2 + e ˙ g e r k = 1 α ∂ T ∂ t

Já as condições de contorno são:

∂ T ∂ z z = 0 = 0

∂ T ∂ r r = 0 = 0

- k ∂ T ∂ z z = H = - q ˙ H

- k ∂ T ∂ r r = r 0 = h T r 0 , z - T ∞

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