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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 136

Considere uma casca cilíndrica de comprimento L, raio interno r 1 e raio externo r 2 cuja condutividade térmica varia no intervalo específico de temperaturas com k T = k 0 1 + β T 2 , onde k 0 e β são duas constantes especificadas. A superfície interna da casca é mantida a uma temperatura T 2 . Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente, obtenha a relação para a taxa de transferência de calor através da casca.

Passo 1

Bommmm, esta questão, apesar de parecer bem complexa, visto que estamos trabalhando com uma condutividade térmica variável, ela é simples.

Queremos determinar a taxa de transferência de calor. E a pergunta é: qual a fórmula? Será necessário desenvolvermos? A resposta para esta última pergunta é não! Podemos aplicar a fórmula que o livro nos dá, para facilitar a nossa vida!

Se voltamos para a seção 2-7 do livro, vamos ver que a taxa de transferência de calor para um cilindro é dada por:

Q ˙ = 2 π k m é d L T 1 - T 2 ln ⁡ r 2 r 1

Que beleza! Com exceção do termo k m é d , temos todos os outros dados! Logo, nosso único trabalho é determinar quem é k m é d .

Passo 2

O termo k m é d é a condutividade térmica média. Como a função que rege a condutividade é uma função quadrática, será necessário calcular este termo a partir de integrais. Portanto,

k m é d = ∫ T 1 T 2 k T d T T 2 - T 1 = ∫ T 1 T 2 k 0 1 + β T 2 d T T 2 - T 1 = k 0 T + β T 3 3 T 1 T 2 T 2 - T 1

k m é d = k 0 T 2 - T 1 T 2 - T 1 + β 3 ⋅ T 2 3 - T 1 3 T 2 - T 1 = k 0 1 + β 3 ⋅ T 2 - T 1 ⋅ T 2 2 + T 2 T 1 + T 1 2 T 2 - T 1

k m é d = k 0 1 + β T 2 2 + T 2 T 1 + T 1 2 3

E a questão está resolvida basicamente! Substituindo este valor na taxa de transferência de calor, temos:

Q ˙ = 2 π ⋅ k 0 1 + β T 2 2 + T 2 T 1 + T 1 2 3 ⋅ L T 1 - T 2 ln ⁡ r 2 r 1

Resposta

Q ˙ = 2 π ⋅ k 0 1 + β T 2 2 + T 2 T 1 + T 1 2 3 ⋅ L T 1 - T 2 ln ⁡ r 2 r 1

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