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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 20

Considere o escoamento descrito pelo campo de velocidade V → = B x ( 1   +   A t ) î +   C y j ^ , com A   =   0,5   s - 1 e B = C   =   1   s - 1 . As coordenadas são medidas em metros. Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1, 1) no instante t = 0. Comparea com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 2 s.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Este problema nos pede a trajetória da partícula que passou pelo ponto ( 1 ,   1 ) no instante t = 0 . Temos:

u = d x d t v = d y d t

A equação das linhas de corrente é dada por:

v u = d y d x

Então:

u = B x 1 + A t A = 0,5 s - 1 B = 1 s - 1

v = d y d t = C y C = 1   s - 1

Separando as variáveis:

d x x = B 1 + A t d t d y y = C   d t

Logo, as trajetórias são:

x = e B 1 + A t 2 2                             y = e C t

Substituindo:

x = c 1 e B 1 + A t 2 2                             y = c 2 e C t

Passo 2

Agora, para a equação das linhas de corrente, temos:

v u = d y d x = C y B x 1 + A t 1 + A t d y y = C B d x x

Integrando: y = 1 + A t ln ⁡ y = C B ln ⁡ x + c y 1 + A t = c x C B

Então, para partícula que passa por 1,1 em t = 0 , t = 1   s e t = 2 s , temos respectivamente: y = x C B y = x C ( 1 + A ) B y = x C ( 1 + 2 A ) B

Portanto, nossos gráficos ficam assim:

Resposta

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