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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 14

Começando com o campo de velocidade do Problema 2.5, verifique que as equações paramétricas para o movimento da partícula são dadas por x p =   c 1 e A t e y p = c 2 e - A t . Obtenha a equação para a trajetória da partícula localizada no ponto ( x ,   y )   =   ( 2 ,   2 ) no instante t   = 0 . Compare essa trajetória com a linha de corrente passando pelo mesmo ponto.

Passo 1

Esse é mais um dos problemas de campo de velocidade, onde devemos provar que as equações são válidas para o movimento das partículas , além de estar no ponto e instante estabelecido. E, por fim, fazer a comparação. Para isso, utilizareos as equações para as linhas de corrente

u p = d x d t         e       v p = d y d t

v u = d y d x

Passo 2

Para os caminhos, fazemos

u p = d x d t = A x                 v p = d y d t = - A y

Agora, separamos as variáveis e integramos

d x x = A   d t                   d y y = - A   d t                  

ln ⁡ x = A   t + C 1                         ln ⁡ y = - A   t + C 2

Então, a solução é:

x = e A   t + C 1               e         y = e - A   t + C 2

Podemos organizar as equações separando as exponenciais, logo

x = e A   t e C 1               e         y = e - A   t e C 2

x = C 1 e A   t               e         y = C 2 e - A   t

Passo 3

Eliminando o t nas equações, temos

t = 1 A ln ⁡ x c 1 = - 1 A   ln ⁡ y c 2

Avaliando o logaritmo natural : ln ⁡ ( x 1 A   y 1 A   ) = c o n s t a n t e , logo, x A   y A = c o n s t a n t e . Portanto, se multiplicarmos x y teremos um valor igual a 4.

Assim

v u = d y d x = A y A x = y x

Agora, separamos as variáveis e integramos

d y y = - d x x

ln ⁡ y = - ln ⁡ x + C

Então, a solução é: ln ⁡ ( x   y ) = c ou x y = 4 . Assim a linha de corrente que passa por ( 2,2 ) e a linha que começou em ( 2,2 ) coincidem porque o fluxo é constante.

Prontinho!!

Resposta

Coincidem porque o fluxo é constante.

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