Enunciado

Considere o escoamento isentrópico de um fluido através de um bocal convergente-divergente e velocidade subsônica na garganta. Como a seção divergente afeta (a) a velocidade, (b) a pressão e (c) a vazão em massa do fluido?

Passo 1

Oi, galera, tudo beleza? Vamos fazer um exercício de escoamento subsônico (escoamento com velocidade V é menor que a velocidade do som c ) através de um bocal convergente-divergente?

Para resolver esse problema precisamos responder três perguntas na ordem abaixo.

  1. O que acontece com a velocidade V do fluido conforme ele passa pela parte divergente do bocal (parte em que área transversal A aumenta)?
  2. Lembrando que: a velocidade V do fluido através do bocal é menor que a velocidade do som c e o número de Mach M a é menor que 1 , porque o escoamento é subsônico!

    Pela figura acima vemos que explicar o que acontece com a velocidade V do fluido através da parte divergente é o mesmo que dizer como essa velocidade V varia com a distância x em relação a garganta. Ou seja, precisamos saber se V aumenta, diminui ou fica constante.

  3. O que acontece com a pressão P do fluido conforme ele passa pela parte divergente do bocal? Pela figura abaixo vemos que explicar o que acontece com a pressão P do fluido através da parte divergente é o mesmo que dizer como essa pressão P varia com a distância x em relação a garganta.
  4. Em outras palavras, precisamos saber se P aumenta, diminui ou fica constante.

  5. O que acontece com a vazão em massa m ˙ do fluido conforme ele passa pela parte divergente do bocal? Pela figura abaixo vemos que explicar o que acontece com a vazão mássica m ˙ do fluido através da parte divergente é o mesmo que dizer como essa como essa vazão mássica m ˙ varia com a distância x em relação a garganta.

Em outras palavras, precisamos saber se m ˙ aumenta, diminui ou fica constante.

A estratégia que usaremos para responder cada pergunta está listada abaixo.

  1. Para descobrir como V varia, temos que usar a equação de conservação de massa e a equação da vazão mássica para a parte divergente do bocal.
  2. Para descobrir como P varia, temos que usar a equação de Bernoulli na parte divergente do bocal.
  3. Para descobrir como m ˙ varia, temos que usar a equação de conservação de massa.

Passo 2

Vamos resolver nesse passo a letra (a) da questão! Falamos que para descobrir como a velocidade V do fluido varia, temos que usar duas equações. Uma delas é a lei da conservação de massa, que diz que a vazão mássica m ˙ 1 que entra na parte divergente tem que ser igual a vazão em massa m ˙ 2 que sai da parte divergente. A outra é a equação da vazão mássica, que diz que a vazão mássica m ˙ é a multiplicação entre ρ , V e A .

m ˙ 1 = m ˙ 2       ⟹       ρ 1 ⋅ V 1 ⋅ A 1 = ρ 2 ⋅ V 2 ⋅ A 2

onde ρ 1 é a densidade do fluido entrando na parte divergente, ρ 2 é a densidade do fluido saindo da parte divergente, A 1 é a área de entrada da parte divergente (área menor), A 2 é a área de saída da parte divergente (área maior), V 1 é a velocidade de entrada do fluido e V 2 é a velocidade de saída do fluido.

Reorganizando a equação acima, encontramos uma expressão para a velocidade V 2 .

ρ 1 ⋅ V 1 ⋅ A 1 = ρ 2 ⋅ V 2 ⋅ A 2       ⟹       V 2 = ρ 1 ⋅ V 1 ⋅ A 1 ρ 2 ⋅ A 2

Como a área de entrada A 1 é menor que a área de saída A 2 , V 2 é menor que V 1 . Isso significa que a velocidade V diminui confome o fluido atravessa o parte divergente do bocal.

Passo 3

Nessa etapa, vamos resolver a letra (b) dessa questão. Vimos que para descobrir como a pressão P do fluido se comporta através do bocal, temos que usar a equação ode Bernoulli abaixo. Atenção! Nós podemos usar essa equação apenas para saber como P varia, não para fazer cálculos e descobrir quanto exatamente P vale. Bernoulli não é uma equação feita para ser usada em escoamentos compressíveis como é o caso agora!

P 1 ρ 1 + V 1 2 2 = P 2 ρ 2 + V 2 2 2

onde P 1 é a pressão de entrada do fluido na parte divergente e P 2 é a pressão de saída do fluido da parte divergente.

Reorganizando a equação acima, achamos uma expressão para P 2 .

P 2 = ρ 2 P 1 ρ 1 + ρ 2 V 1 2 2 - ρ 2 V 2 2 2

Como a velocidade V 2 do fluido é maior que a velocidade V 1 , vemos que P 2 é maior que P 1 . Isso significa que a pressão P do fluido aumenta conforme ele atravessa a parte divergente do bocal.

Passo 4

Por sim, resolvemos a letra (c) da questão.

Para descobrir como a vazão mássica do fluido m ˙ se comporta através da parte divergente do bocal, temos que usar a lei de conservação de massa.

m ˙ 1 = m ˙ 2

A equação acima mostra que a vazão mássica m ˙ 1 que entra na parte divergente é igual a vazão em massa m ˙ 2 que saindo da parte divergente. Logo, m ˙ se mantém constante através da parte divergente do bocal!

Resposta

  1. A velocidade V do fluido diminui confome o fluido atravessa o parte divergente do bocal.
  2. A pressão P do fluido aumenta conforme ele atravessa a parte divergente do bocal.
  3. m ˙ se mantém constante através da parte divergente do bocal!
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