Enunciado

Reconsidere o Problema 12-37. Usando o EES (ou outro software), estude o efeito dos números de Mach no intervalo entre 0,1 e 2 sobre velocidade, pressão de estagnação, temperatura e massa específica do ar. Faça um gráfico de cada parâmetro como função do número de Mach.

Passo 1

O Problema 12-38 pede para a gente calcular quatro propriedades do ar a 100   ° C , 200   k P a que escoa através de um duto com um número de Mach M a que varia entre 0,1 e 2 . Essas propriedades são: a velocidade do ar V , a temperatura de estagnação T 0 , a pressão de estagnação P 0 e a densidade de estagnação ρ 0 . A figura abaixo mostra os dados que temos e as informações que o enunciado pede.

onde T é a temperatura estática do ar e P é a pressão estática do ar.

Para aprender a calcular essas propriedades V , T 0 , P 0 e ρ 0 a partir do número de Mach 0,1 ≤ M a ≤ 2 , precisamos deduzir equações de V , T 0 , P 0 e ρ 0 em função do número de Mach M a .

No próximo passo vamos aprender a deduzir essa equação para a velocidade V do ar.

Passo 2

Para calcular a velocidade V do ar, precisamos usar a equação do número de Mach M a (equação 12-12 do livro).

M a = V c       ⟹       V = M a ⋅ c

onde c é a velocidade do som no ar.

A equação acima mostra que precisamos encontrar o valor da velocidade do som no ar c para calcular V .

A equação de c para um gás ideal (o ar pode ser considerado um gás ideal) é a equação 12-11 do livro.

c = k ⋅ R ⋅ T

onde k é a razão de calores específicos (no caso do ar, k vale 1,4 ) e R é a constante do gás (no caso do ar R = 0,287   k J / k g ⋅ K ).

Cuidado! Essa temperatura T tem que sempre estar em kelvin K para o cálculo dar certo. Para fazer a converção de grau Celsius ° C para Kelvin K usamos a fórmula abaixo.

T = 100 + 273,15       ⟹       T = 373,15   K

Substituindo essa fórmula na equação de V , achamos:

V = M a ⋅ c       ⟹       V = M a ⋅ k ⋅ R ⋅ T

Para fazer um gráfico de V em função do número de Mach M a que varia entre 0,1 e 2 , calculamos o valor de V para vários valor de M a que estão entre 0,1 e 2 . Ou seja, calcularemos o valor de V para M a = 0,1 , depois calcularemos V para M a = 0,2 e assim por diante até chegarmos em M a = 2 .

Passo 3

Com os valores de velocidade V calculados para cada número de Mach M a , podemos calcular a temperatura de estagnação do ar T 0 a partir da equação 12-4 do livro.

T 0 = T + V 2 2 ⋅ c p

onde c p é o calor específico a pressão constante (no caso do ar, c p = 1,005 k J k g ⋅ K ).

Além disso, calculamos a pressão de estagnação do ar P 0 a partir de T 0 , usando a equação 12-5 do livro.

P 0 P = T 0 T k k - 1       ⟹       P 0 = P ⋅ T 0 T k k - 1

Passo 4

Por fim, a densidade do ar ρ pode ser deduzida a partir da equação de gás perfeito.

P = ρ ⋅ R ⋅ T       ⟹       ρ = P R   ⋅ T

Através desse valor de densidade ρ somos capazes d ecalcular a densidade de estagnação do ar ρ 0 , usando a equação 12-6 do livro.

ρ 0 ρ = T 0 T 1 k - 1       ⟹       ρ 0 = ρ ⋅ T 0 T 1 k - 1

Passo 5

Precisamos desenhar uma curva para cada propriedade V , T 0 , P 0 e ρ 0 . Essas curvas são formadas por pontos com diferentes valores de M a . Logo, precisamos calcular V , T 0 , P 0 e ρ 0 para vários valores de M a entre 0,1 e 2 . Em outras palavras, temos que repetir todo esse processo de cálculo para cada M a . Para fazer isso mais rápido, usamos o algoritmo abaixo e executamos esse algoritmo com o programa MATLAB.

Passo 6

O gráfico abaixo mostra todas as propriedades que o enunciado queria. Ele foi gerado a partir do algoritmo do MATLAB.

Resposta

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