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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 68

Considere o escoamento sobre um objeto muito pequeno em um fluido viscoso. A análise das equações de movimento mostra que os termos inerciais são muito menores do que os termos viscosos e de pressão. Ocorre, então, que a massa específica do fluido é eliminada nas equações do movimento. Esses escoamentos são chamados de escoamentos muito lentos e viscosos (creeping flows). Os únicos parâmetros importantes no problema são a velocidade de movimento U, a viscosidade do fluido m e o comprimento de escala do corpo. Para corpos tridimensionais, como esferas, a análise do creeping flow produz resultados muito bons. No entanto, não se sabe se essas análises podem ser aplicadas a corpos bidimensionais como um cilindro circular, pois apesar de o diâmetro poder ser muito pequeno, o comprimento do cilindro é infinito para um escoamento bidimensional. Vamos ver se a análise dimensional pode ajudar. (a) Usando o Teorema Pi de Buckingham, gere uma expressão para o arrasto bidimensional FA 2-D em função dos outros parâmetros do problema. Tenha cuidado – o arrasto bidimensional tem dimensões de força por unidade de comprimento e não simplesmente força. (b) O seu resultado é fisicamente plausível? Se não for, explique por quê. (c) Ocorre que a massa específica r do fluido não pode ser desprezada na análise do creeping flow sobre corpos bidimensionais. Repita a análise dimensional, desta vez com r incluído como parâmetro. Encontre a relação adimensional entre os parâmetros neste problema.

Passo 1

Bora pra mais uma!

Se assumirmos F 2 - D = f c n μ , U , d , as dimensões serão:

F 2 - D = M T 2 ;     μ = M L T ; U = L T ; d = L

Sendo n=4 e j=3, temos somente um grupo Pi:

  1. Π 1 = F 2 - D μ U = C o n s t a n t e → F 2 - D = C o n s t * U μ

  2. Isso não é fisicamente plausível, pois afirma que a resistência de um corpo não depende de seu tamanho L. Portanto a massa específica foi esquecida na equação.
  3. Se a densidade for adicionada temos F 2 - D = f c n ρ ,   μ , U , d , então um novo grupo Pi aparece:

Π 2 = ρ U d μ = R e d ;  

Que agora, é um cenário mais realista, F 2 - D μ U = f c n ρ U d μ

Resposta

  1. Π 1 = F 2 - D μ U = C o n s t a n t e → F 2 - D = C o n s t * U μ

  2. Isso não é fisicamente plausível, pois afirma que a resistência de um corpo não depende de seu tamanho L. Portanto a massa específica foi esquecida na equação.
  3. Se a densidade for adicionada temos F 2 - D = f c n ρ ,   μ , U , d , então um novo grupo Pi aparece:

Π 2 = ρ U d μ = R e d ;  

Que agora, é um cenário mais realista, F 2 - D μ U = f c n ρ U d μ

Os dados experimentais e teóricos concordam no item (c).

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