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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 17

A queda de pressão por unidade de comprimento Δ p / L em um duto rotativo poroso depende da velocidade média V, da massa específica ρ , da viscosidade μ , da altura h do duto, da velocidade de injeção na parede v p e da velocidade de rotação Ω . Usando ( ρ , V , h ) como variáveis repetitivas, reescreva essa relação em forma adimensional.

Passo 1

E aí, tranquilidade? Bora encarar mais esse desafio da mecânica dos fluidos? Aqui vai rolar muito algebrismo, mas você vai tirar de letra!

Primeiro de tudo vamos dar as dimensões das variáveis do nosso sistema!!!

Δ p L = M L - 2 T - 2

V = L T - 1

ρ = M L - 3

μ = M L - 1 T - 1

h = L

v w = L T - 1

Ω = T - 1

Temos 7 variáveis (n) e temos 3 dimensões j (MLT), logo o número de grupos pi que precisamos são de 7-3 = 4.

Vamos escrever eles aqui!

Π 1 = ρ a V b h c Δ p L

Π 2 = ρ a V b h c μ - 1

Π 3 = ρ a V b h c Ω

Π 4 = ρ a V b h c v w

Passo 2

Vamos fazer o grupo 1 e depois para não ficar maçante vamos fazer analogias aos outros grupos para resolvermos esse problema!!!

Π 1 = ρ a V b h c Δ p L = M L 3 a L T b L c M L 2 T 2 = M 0 L 0 T 0

Agora vamos montar nosso sistema de equações para cada unidade base!!

M: a + 1 = 0 → a = - 1

L: - 3 a + b + c - 2 = 0 → 3 + b + c - 2 = 0 → 1 + b + c = 0 → b + c = - 1

T: - b - 2 = 0 → b = - 2

Resolvendo o sistema linear acima, vamos obter os valores de b = - 2 e c = 1

Passo 3

Note que podemos fazer esse mesmo passo-a-passo para todos os outros grupos adimensionais:

Π 2 = ρ a V b h c μ - 1 = M L 3 a L T b L c M L T - 1 = M 0 L 0 T 0

Π 3 = ρ a V b h c Ω = M L 3 a L T b L c T - 1 = M 0 L 0 T 0

Π 4 = ρ a V b h c v w = M L 3 a L T b L c L T - 1 = M 0 L 0 T 0

Ao final de resolver cada sistema linear para os respectivos grupos adimensionais, você vai obter os seguintes valores para cada expoente:

Grupo 2: a = b = c = 1

Grupo 3 : a = 0, b = -1 e c = 1

Grupo 4: a = c = 0, b = -1

Passo 4

Ao final, podemos escrever então Π 1 em função de todos os outros grupos encontrados!

Π 1 = f Π 2 ,   Π 3 ,   Π 4

Δ p L h ρ V 2 = f ρ V h μ , Ω h V , v w V

Resposta

Δ p L h ρ V 2 = f ρ V h μ , Ω h V , v w V

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