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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 118

Considere uma lata de alumínio de bebida fria que está inicialmente a uma temperatura uniforme de 5°C. A lata tem 12,5 cm de altura e diâmetro de 6 cm. A emissividade da superfície externa da lata é 0,6. Ignorando qualquer transferência de calor a partir da superfície do fundo da lata, determine quanto tempo é necessário para que a temperatura média da bebida aumente para 7°C, considerando que o ar ambiente e as superfícies em torno estão a 25°C.

Passo 1

Primeiro, vamos reunir nossas informações. Vamos primeiro reunir nossas informações. Sabemos que as temperaturas da lata são T 1 = 5 ° C e T 2 = 7 ° C . Além disso, a lata apresenta comprimento L = 0,125   m e diâmetro D = 0 , 06   m = L c . Sabemos ainda que T ∞ = 2 5 ° C .

Queremos o tempo para aquecer a lata de 5°C até 7°C. Podemos determinar o calor absorvido pela lata de alumínio pela relação:

q ˙ a b s = ρ V c p ( T 2 - T 1 ) t

Também iremos considerar que só ocorre transferência de calor por convecção natural. A taxa de transferência por este mecanismo é:

q ˙ c o n v = - h A ( T - T ∞ )

Como só há transferência por convecção:

q ˙ a b s = q ˙ c o n v

ρ V c p d T d t = - h A ( T - T ∞ )

d T T - T ∞ = - h A ρ V c p d t

ln ⁡ T 2 - T ∞ T 1 - T ∞ = - h A ρ V c p t

Para encontrar o tempo precisamos então das propriedades do alumínio ( ρ e c p ), do volume V da lata, da área A de troca térmica, da temperatura média da superfície T s e do coeficiente convectivo h .

Uma das formas de obter o coeficiente de convecção é utilizando a correlação de Nusselt para um cilindro horizontal:

N u = h L c k = 0,6 + 0,387 R a 1 6 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2

O que vamos fazer então é: calcular a temperatura média da superfície; encontrar a temperatura de filme e as propriedades do ar para esta temperatura; Calcular os adimensionais R a e P r ; substituir todos estes valores na correlação do número de Nusselt para encontrar o coeficiente convectivo; Determinar A e V ; e, finalmente encontrar o tempo para aquecer a bebida. Pronto??? Vamos lá!!!

Passo 2

Como combinado, vamos determinar a temperatura média da superfície:

T s = T 1 + T 2 2

T s = 5 + 7 2

T s = 6   ° C

Já vimos que a temperatura média da lata é 6°C e que a temperatura do ar externo é 25°C. Com esses valores podemos determinar a temperatura de filme:

T f = T s + T ∞ 2

T f = 6 + 25 2

T f = 15 , 5   ° C = 288 , 5   K

Nesta temperatura as propriedades do ar são:

ϑ = 1 , 4746 x 10 - 5   m 2 / s

P r = 0,7 321 6

k = 0,02 442 7   W / m . K

Vamos agora determinar o número de Rayleigh:

R a = g β T ∞ - T s L c 3 ϑ 2 P r  

R a = 9,81 x 1 288,5 x 25 - 6 x 0,06 3 1 , 4746 x 10 - 5 2 x 0,7 321 6

R a = 469881,21

Já temos todas as variáveis necessárias para o número de Nusselt. Então vamos calcular h :

h L c k = 0,6 + 0,387 R a 1 6 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2

h = k L c 0,6 + 0,387 R a 1 6 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2

h = 0,024427 0,06 x 0,6 + 0,387 x ( 469881,21 ) 1 6 1 + 0,559 0,7321 6 9 16 8 27 2

h = 4,816   W / m 2 . K

Passo 3

As propriedades do alumínio são:

ρ = 2379   k g / m 3

c p = 896   J / k g K

Podemos também encontrar a área superficial e o volume da lata a partir de suas dimensões:

A = π D L

A = π x 0,06 x 0,125

A = 0,0235   m 2

V = π D 2 4 L

V = π x 0,06 2 4 x 0,125

V = 3,5 x 10 - 4   m 3

Já temos condições de determinar o tempo para aquecer a bebida:

ln ⁡ T 2 - T ∞ T 1 - T ∞ = - h A ρ V c p t

ln ⁡ 7 - 25 5 - 25 = - 4,816 x 0,0235 2379 x 3,5 x 10 - 4 x 896 t

t = 694,5   s = 11,6   m i n

Resposta

t =11,6 min.

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