Enunciado

Derive uma expressão para a velocidade do som com base na equação de estado de van der Waals P = R T / v - b - a / v ² . Usando essa relação, determine a velocidade do som no dióxido de carbono a 50 ℃ e 200 kPa, e compare o resultado com aquele obtido quando se considera o comportamento de gás ideal. As constantes de van der Waals do dióxido de carbono são a = 364,3   k P a . m 6 / k m o l ² e b = 0,0427 m ³ / k m o l .

Passo 1

Fala ai! Pra resolver essa questão primeiro temos que derivar a equação de Van der Waal, e usar o que a gente achar na expressão da velocidade do som pra um gás não ideal. Depois disso vamos comparar com o valor que a gente encontrar na expressão da velocidade do som pra um gás ideal (expressão de c que a gente usa em escoamento de Fanno).

Mas antes, vamos precisar saber algumas propriedades do C O 2 à 50 ℃ :

k = 1 , 274

R = 0,1889   k J / k g . K

A equação de estado de Van der Waals é:

P = R T ν - b - a ν ²

Derivando temos:

∂ P ∂ ν T = R T ν - b ² - 2 a ν 3

Passo 2

Antes da gente substituir isso na expressão da velocidade do som, vamos encontrar o volume específico ν usando os dados que a questão dá pra gente:

P = R T ν - b - a ν ²

200 = 0,1889   x   323 ν - 0,0427 - 364,3 ν ²

ν = 0,043 m ³ / k m o l

Passo 3

Sabendo que ρ = 1 / ν , e que d ρ = - d ν / ν ² . A expressão da velocidade do som em um fluido não ideal em função de ν é então:

c 2 = ν ² k ∂ P ∂ ν T

Substituindo a derivada que a gente achou temos:

c 2 = ν ² k R T ν - b ² - 2 a k ν

Agora que a gente tem todos os dados podemos substituir nessa expressão, e a gente vai achar isso aqui:

c = 271   m / s

Passo 4

Por fim (finalmente), vamos calcular a velocidade pela expressão do gás ideal que é aquela que a gente já viu em outros exercícios desse capítulo:

c = k R T

c = 279 m / s  

Como a gente pode ver, a resposta deu bem parecida e a expressão pro gás ideal é beem mais simples. Mas é importante saber que pra pressões mais altas ou pra temperaturas baixas, o comportamento dos gases em geral desvia bem mais do gás ideal.

Resposta

c r e a l = 271   m / s

c i d e a l = 279 m / s

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