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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 55

Ar entra em um bocal a 30   p s i a , 630   R e a uma velocidade de 450   p é s / s . Considerando o escoamento isentrópico, determine a pressão e a temperatura do ar em um local onde a velocidade do ar é igual à velocidade do som. Qual é a relação entre a área desse local e a área da entrada?

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem? Esse é um exercício sobre escoamento isentrópico (entropia é constante) de ar através do bocal.

A questão nos dá informações do ar que entra no bocal e quer saber a pressão e a temperatura do ar, quando sua velocidade V é igual à velocidade c do som V = c . Quando isso ocorre, o número de Mach M a , vale:

M a = V c     ⟹     M a = c c     ⟹     M a = 1

Em outras palavras, o exercício quer saber a pressão P e a temperatura T do fluido para o número de Mach M a igual a 1 M a = 1 .

Além disso, ela quer saber quanto vale a relação entre a área da entrada A e a área do bocal pela qual o fluido passa, quando M a = 1 .

A figura abaixo mostra esses termos.

Como vemos pela imagem acima, identificamos as propriedades onde M a = 1 com um asterisco * acima delas. Chamamos essas propriedades de um fluido com M a = 1 de propriedades críticas.

P e , V e e T e são a pressão, a velocidade e a temperatura do ar na entrada do bocal. P * , T * e A * são a pressão, a temperatura e a área críticas do ar (são a pressão, a temperatura e a área do ar, quando M a = 1 ).

Resumindo, a questão quer saber:

  1. quanto vale a pressão crítica P * do escoamento. Resolveremos isso multiplicando duas equações. Uma equação relaciona a pressão P e com a pressão de estagnação do ar P 0 (equação 12-19 do livro).

    2. P 0 P e = 1 + k - 1 2 M a 2 k k - 1

    onde k é a razão entre calores específicos do gás k = c p / c v . Para o ar:

    k = 1,4

    A outra equação relaciona a pressão de estagnação P 0 com a pressão crítica P * (equação 12-22 do livro).

    P * P 0 = 2 k + 1 k k - 1

  2. quanto vale a temperatura crítica do escoamento. Resolveremos isso multiplicando duas equações. Uma equação relaciona a temperatura T e com a temperatura de estagnação do ar T 0 (equação 12-18 do livro).

    3. T 0 T e = 1 + k - 1 2 M a 2

    A outra equação relaciona a temperatura de estagnação T 0 com a temperatura crítica T * (equação 12-21 do livro).

    T * T 0 = 2 k + 1

  3. quanto vale a razão de áreas A * / A do escoamento. Resolveremos isso usando a equação que relaciona a área A com a área crítica A * (equação 12-26 do livro).

A A * = 1 M a 2 k + 1 1 + k - 1 2 M a 2 k + 1 2 k - 1

Passo 2

Nesse passo, resolveremos o primeiro tópico que a questão quer saber: quanto vale P * . Pra isso, vamos multiplicar as duas equações que mencionamos. Isso é feito para cortar a pressão de estagnação P 0 da equação

P 0 P e ⋅ P * P 0 = 2 k + 1 k k - 1 ⋅ 1 + k - 1 2 M a 2 k k - 1

P * P e = 2 k + 1 k k - 1 ⋅ 1 + k - 1 2 M a 2 k k - 1

P * = P e ⋅ 2 k + 1 k k - 1 ⋅ 1 + k - 1 2 M a 2 k k - 1

No entanto, para usar essa fórmula precisamos calcular o número de Mach M a do fluido na entrada do bocal. Ele é calculado pela equação abaixo.

M a = V c

onde c é a velocidade do som do ar na entrada do bocal.

A equação de c , quando o fluido é um gás ideal (como é o nosso caso, porque o ar pode ser considerado um gás ideal) se encontra abaixo.

c = k R T e

onde R é a constante do gás que vale 1716 , 28   p é s 2 / s 2 R para o ar.

Substituindo os dados que temos, achamos c .

c = k R T e       ⟹       c = 1,4 ⋅ 1716 , 28 ⋅ 63 0       ⟹       c = 1230 , 3   p é s / s

Substituindo c na equação de M a , encontramos:

M a = V c     ⟹     M a = 4 50 1230 , 3     ⟹     M a = 0,3658

Usando esse valor na fórmula de P * , achamos:

P * = P e ⋅ 2 k + 1 k k - 1 ⋅ 1 + k - 1 2 M a 2 k k - 1

P * = 30 ⋅ 2 1,4 + 1 1,4 1,4 - 1 ⋅ 1 + 1,4 - 1 2 ⋅ 0,3658 2 1,4 1,4 - 1       ⟹       P * = 17 , 4   p s i a

Passo 3

Nesse passo, resolveremos o segundo tópico que a questão quer saber: quanto vale T * . Pra isso, vamos multiplicar as duas equações que mencionamos. Isso é feito para cortar a temperatura de estagnação T 0 da equação

T 0 T e ⋅ T * T 0 = 2 k + 1 ⋅ 1 + k - 1 2 M a 2

T * T e = 2 k + 1 ⋅ 1 + k - 1 2 M a 2

T * = T e ⋅ 2 k + 1 ⋅ 1 + k - 1 2 M a 2

Substituindo os dados na equação acima, achamos:

T * = 630 ⋅ 2 1,4 + 1 ⋅ 1 + 1,4 - 1 2 ⋅ 0,3658 2       ⟹       T * = 539   K

Passo 4

Nesse passo resolveremos o terceiro e último tópico: quanto vale A * / A . Para isso, basta inverter a fórmula que mencionamos.

A A * = 1 M a 2 k + 1 1 + k - 1 2 M a 2 k + 1 2 k - 1

A * A = 1 M a 2 k + 1 1 + k - 1 2 M a 2 k + 1 2 k - 1 - 1

Substituindo os dados, a fórmula fica:

A * A = 1 0,3658 2 1,4 + 1 1 + 1,4 - 1 2 ⋅ 0,3658 2 1,4 + 1 2 1,4 - 1 - 1

A * A = 0 , 58

Resposta

P * = 17,4   p s i a

T * = 539   K

A * A = 0,58

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