Determine (a) a força hidrostática total sobre a superfície curva AB da Figura P2.84 e (b) sua linha de ação. Despreze a pressão atmosférica e considere a superfície com largura unitária.

Primeiro, vamos calcular a componente horizontal . Para isso, devemos imaginar uma projeção em um ângulo de 90° com relação à direção dessa força, como na figura abaixo:

Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base e altura . Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:

Sendo: o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 ; a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e a área do retângulo projetado.

Dessa forma, temos:

Agora vamos calcular a componente vertical . Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir do peso da água acima da barragem. Para entender como faremos isso, olhe a seguinte figura:

Dá pra perceber que é o peso da água ao longo dessa figura que queremos calcular? Então, essa figura nada mais é a função .

Sendo assim, podemos calcular o peso de água calculando a área dessa curva que encontramos. Mas isso é, por definição, integrar essa curva. Logo, pode ser calculado como:

Note que a gente definiu o intervalo de integração como sendo de 0 a 1. Fizemos isso porque, pela natureza da curva, quando , .

Resolvendo essa integral, podemos calcular :

E pra finalizar a questão, iremos calcular a força hidrostática total e o ângulo da sua linha de ação.

Primeiro, com as duas componentes e encontradas nos Passos 2 e 3, podemos calcular uma resultante a partir do módulo dessas componentes:

Podemos, então, representar essa resultante com a imagem:

Fazendo uma simples relação trigonométrica com o triângulo, podemos encontrar a resultante do ângulo entre e :

Ou seja, a linha de ação da força faz um ângulo de em relação à horizontal do eixo de coordenadas do problema.

Pronto, resolvemos a questão juntos!