Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 94
O tronco de 1,2 m de diâmetro (d = 0,80) da Figura P2.94 tem 2,4 m de comprimento e represa água como mostra a figura. Calcule as reações líquidas vertical e horizontal no ponto C.
Passo 1
E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!
A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.
Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos um tronco de de diâmetro, de comprimento e densidade represando água. O problema pede que a gente calcule as forças de reação hidrostática vertical e horizontal no ponto C.
Pra isso, deem uma olhada no esquema da figura abaixo:
Como vocês podem perceber pela figura aí em cima, pra resolver a questão temos que dividir o tronco em duas geometrias: um semicírculo (pintado de azul) e um quarto de círculo (pintado de laranja), cada um com suas componentes verticais e horizontais das forças hidrostáticas.
As reações vertical () e horizontal () no ponto C podem ser calculada com um balanço das forças hidrostáticas que agem nas duas geometrias nas quais dividimos o tronco, considerando também o peso exercido pelo próprio tronco.
Nos passos seguintes, vamos descobrir como calcular cada uma das componentes das forças hidrostáticas e as reações no ponto C.
Então, vamo lá resolver essa questão juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as componentes horizontais . e Para isso, devemos imaginar projeções em um ângulo de 90° com relação à direção dessas forças, como nas figuras abaixo.
Primeiro, para a componente horizontal da força hidrostática no semi-círculo:
Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base e altura . Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:
Sendo: o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 ; a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e a área do retângulo projetado.
Dessa forma, temos:
De maneira similar, iremos calcular a componente horizontal da força hidrostática no quarto de círculo:
Podemos notar que essa projeção é na verdade um retângulo, de base e altura . Sendo assim, podemos calcular :
Passo 3
Agora vamos calcular as componentes verticais e . Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir do peso da água em cada uma das áreas geométricas que definimos antes, a partir da equação abaixo:
Sendo o volume da água no semicírculo ou no quarto de círculo.
Para o semicírculo, teremos:
Para o quarto de círculo:
Passo 4
E pra finalizar a questão, iremos calcular as forças de reação e no ponto C.
Iremos fazer dois balanços de força: um horizontal e outro vertical, e o sinal das forças nesse balanço será baseado na direção das forças que pode ser observada na figura exposta no Passo 1. Devemos lembrar que, para o tronco estar imóvel, o balanço de forças deve ser igual a zero.
Em primeiro lugar, para as forças horizontais:
Depois, devemos fazer um balanço de forças para as componentes verticais. Neste caso, devemos contabilizar o peso do tronco, de densidade :
Pronto, resolvemos a questão juntos!
Resposta
As as reações líquidas vertical e horizontal no ponto C são, respectivamente, e .