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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 1.Exercício - Ex. 13

Dois discos são dispostos coaxialmente face a face, separados por um filme de óleo lubrificante de espessura ε pequena. Aplicando-se um momento no disco 1 , ele inicia um movimento em torno de seu eixo e, através do fluido viscoso, estabelece-se o regime, de forma que as velocidades angulares ω 1 e ω 2 ficam constantes. Admitindo o regime estabelecido, determinar a função ω 1 - ω 2 = f M ∀ ε , D , μ .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Queremos uma função f M ∀ ε , D , μ que represente ω 1 - ω 2 . Podemos representar a equação para o momento como:

d M = τ d A

d M = μ v 1 - v 2 ε 2 π ⋅ r ⋅ d r ⋅ r

d M = μ ω 1 - ω 2 r ε 2 π ⋅ r ⋅ d r ⋅ r

Desenvolvendo, temos que:

d M = μ ω 1 - ω 2 ε 2 π ⋅ r 3 ⋅ d r

Passo 2

Descoberta esta relação, podemos integrar a equação nos intervalos do sistema. Observe:

∫ 0 M t d M = ∫ 0 R μ ω 1 - ω 2 ε 2 π ⋅ r 3 ⋅ d r

Resolvendo, temos que:

M t = μ ω 1 - ω 2 ε 2 π R 4 4

Passo 3

Agora podemos representar a função solicitada:

ω 1 - ω 2 = 4 M t ε μ 2 π R 4

Como no enunciado a função deve estar em relação ao diâmetro e R = D 2 , temos que:

R 4 = D 2 4

R 4 = D 4 16

Substituindo, temos que:

ω 1 - ω 2 = 32 M t ε μ π D 4

Resposta

ω 1 - ω 2 = 32 M t ε μ π D 4

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