Durante sua fabricação, placas de vidro a 600 ° C são resfriadas com a passagem de ar sobre sua superfície de tal forma que o coeficiente de transferência de calor por convecção é de h = 5 W / ( m 2 · K ) . Para prevenir o aparecimento de rachaduras, é sabido que o gradiente de temperatura não pode exceder aos 15 ° C / m m em qualquer ponto no vidro durante o processo de resfriamento. Sendo a condutividade térmica do vidro igual a 1,4   W / ( m   ·   K ) e a emissividade de sua superfície 0,8 ; qual é a menor temperatura do ar que pode ser usada no início do resfriamento? Considere que a temperatura do ar é igual à da vizinhança.

Passo 1

Beleza galerinha, vamos lá! Nessa questão, as condições associadas ao resfriamento superficial do vidro plano que está inicialmente a 600 ° C . O gradiente máximo de temperatura existirá na superfície do vidro e no instante em que o resfriamento for iniciado. Do balanço de energia superficial, Eq. 1.13, e das equações de taxa, Eqs. 1.1, 1.3a e 1.7, segue-se que:

- k d T d x - h T s - T ∞ - ε σ T S 4 - T s u p 4 = 0

Portanto:

- k d T d x = h T s - T ∞ + ε σ T S 4 - T s u p 4

Nessa equação, alguns valores foram dados no enunciado da questão:

k = 1,4   W / m K

d T d x = - 15 º C / m m

Que convertendo para as unidades corretas, fica:

d T d x = - 15000 º C / m

h = 5 W / m 2 K

T S = 600 º C

Que convertendo para Kelvin, fica:

T S = 873 K

ε = 0.8

E temos a constant de Stefan σ = 5,67 × 10 - 8   W / m 2 K 4  

E por fim, assumimos que T s u p = T ∞

Passo 2

Substituindo tudo isso na equação, teremos:

- 1.4 W m ⋅ K - 15000   ° C / m = 5 W / m 2 ⋅ K 873 - T ∞ K

+ 0.8 × 5.67 × 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4 873 4 - T ∞ 4 K 4

Aparentemente, está tudo certo com as unidades, essa equação sem as unidades fica assim:

- 1.4   - 15000 = 5 873 - T ∞ + 0,8 × 5.67 × 10 - 8 873 4 - T ∞ 4

Temos aqui uma equação de quarto grau, que não conseguimos resolver analiticamente.

Passo 3

T ∞ pode ser obtido a partir de uma solução de tentativa-e-erro

Ao se tentar diversos valores, percebe-se que o que mais se aproxima da solução dessa equação é T ∞ = 618 K , que resulta em:

21000 W / m 2 ≈ 1275 W / m 2 + 19730 W / m 2

Portanto, a menor temperatura do ar aceitável é:

T ∞ ≈ 618 K = 345 ° C

Resposta

T ∞ = 345 ° C

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