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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 107

A função de corrente de um campo de velocidade é ψ = A x 3 + B ( x y 2 + x 2 - y 2 ) , em que ψ , x , y , A e B são todos adimensionais. Encontre a relação entre A e B para esse escoamento. Encontre o potencial de velocidade.

Passo 1

Vamos lá! Primeiro nossa questão pede a relação entre as constantes A e B, e além disso pede o potencial de velocidade!

Começaremos vendo as equações que definem o nosso escoamento como Incompressível.

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Passo 2

No segundo passo vamos encontrar o campo de velocidade!

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = ∂ ∂ y ( A x 3 + B ( x y 2 + x 2 - y 2 ) ) v = - ∂ ∂ x ( A x 3 + B ( x y 2 + x 2 - y 2 ) )

u ( x , y ) = 2 B x y - 2 B y v ( x , y ) = - 3 A x 2 - B y 2 - 2 B x

Passo 3

Para que nosso campo seja irrotacional, ele deve respeitar a regra que diz:

∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0

Assumindo então nosso campo como irrotacional, podemos encontrar a relação entre as duas constantes, vamos lá!

∂ ( - 3 A x 2 - B y 2 - 2 B x ) ∂ x - ∂ ( 2 B x y - 2 B y ) ∂ y = 0

- 6 A x - 2 B - 2 B x + 2 B = 0

- 6 A x - 2 B x = 0

- 2 x ( 3 A + B ) = 0

3 A + B = 0

B = - 3 A

Show! Encontramos a relação de A com B. Vamos adiante!

Passo 4

Para fechar com chave de ouro, vamos encontrar a equação que determina o potencial da velocidade!

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

φ ( x , y ) = - ∫ u ( x , y ) d x φ ( x , y ) = - ∫ v ( x , y ) d y

φ ( x , y ) = - ∫ ( 2 B x y - 2 B y ) d x φ ( x , y ) = - ∫ ( - 3 A x 2 - B y 2 - 2 B x ) d y

φ ( x , y ) = - B x 2 y + 2 B x y + f ( y ) φ ( x , y ) = 3 A x 2 y + B y 3 3 + 2 B x y + f ( x )

Uhull! Arrasamos!

Resposta

Relação entre as constantes A e B: B = - 3 A

Potencial de velocidade: φ ( x , y ) = - B x 2 y + 2 B x y + B y 3 3

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