Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 105

Um campo de escoamento é representado pela função de corrente ψ = x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 . Determine o campo de velocidade correspondente. Mostre que este campo de escoamento é irrotacional e obtenha a função potencial.

Passo 1

Precisamos determinar o campo de velocidade, dada a função de corrente do enunciado, além disso a questão pede para mostrar que esse escoamento é irrotacional.

Então vamos lá!

Recordando….Nós temos algumas equações que nos dizem que nosso escoamento é Incompressível e se ele é irrotacional, vamos dar uma olhadinha nelas!

Incompressível:

u = ∂ ψ ∂ y                     v = - ∂ ψ ∂ x

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Irrotacional:

∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0

Passo 2

Beleza! Agora vamos trabalhar, nós já temos a equação da função de corrente, podemos encontrar as componentes da velocidade!

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = ∂ ∂ y ( x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 ) v = - ∂ ∂ x ( x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 )

Derivando as equações acima:

u ( x , y ) = - 20 x 3 y + 20 x y 3 v ( x , y ) = - 5 x 4 + 30 x 2 y 2 - 5 y 4

Passo 3

Agora vamos testar se o nosso escoamento é irrotacional? Partiu!!

∂ ( - 5 x 4 + 30 x 2 y 2 - 5 y 4 ) ∂ x - ∂ ( - 20 x 3 y + 20 x y 3 ) ∂ y = 0

- 20 x 3 + 60 x y 2 + 20 x 3 - 60 x y 2 = 0

Beleza! Estamos com um fluido incompressível em um escoamento irrotacional!

Passo 4

Agora o Gran Finale! Só precisamos resolver as equações que já relembramos lá em cima:

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Queremos o φ , então temos que integrar as equações que representam o u e o v :

φ ( x , y ) = - ∫ u ( x , y ) d x φ ( x , y ) = - ∫ v ( x , y ) d y

φ ( x , y ) = - ∫ ( - 20 x 3 y + 20 x y 3 ) d x φ ( x , y ) = - ∫ ( - 5 x 4 + 30 x 2 y 2 - 5 y 4 ) d y

φ ( x , y ) = 5 x 4 y - 10 x 2 y 3 + f ( y ) φ ( x , y ) = 5 x 4 y - 10 x 2 y 3 + y 5 + g ( x )

Lembrando que a equação final será a junção das duas equações, só precisamos substituir a parte referente da função de Y. Beleza?

Show!

Resposta

O campo possui escoamento irrotacional, e sua função potencial é dada por:

φ ( x , y ) = 5 x 4 y - 10 x 2 y 3 + y 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma proposta de velocímetro de corrente livre usaria um cilindro com tomadas de pressão em θ = 180 ° e θ = 150 ° . A diferença de pressão daria uma medida de velocidade da corrente livre U ∞ . Contudo
Em princípio, é possível usar cilindros rotativos como asas de avião. Considere um cilindro de 30 cm de diâmetro, girando a 2400 rpm. Ele deve sustentar um avião de 55 kN voando a 100 m/s. Qual deveri
Considere que o barco a rotor Flettner da figura P8.54 tenha um coeficiente de resistência na água de 0,005. Com que rapidez o barco irá navegar na água do mar a 20°C sob um vento de 6,1 m/s se a quil
O barco a rotor Flettner original tinha aproximadamente 30,5 m de comprimento, deslocava 800 toneladas e tinha uma área molhada de 325 m². Conforme se esboça na figura P8.54, ele tinha dois rotores de
Água a 20ºC escoa ao redor de um semicorpo, como mostra a Figura 8.27. As pressões medidas nos pontos A e B são 160 kPa e 90 kPa, respectivamente, com incertezas de 3 kPa cada. Avalie a velocidade da