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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 106

A função de corrente de um campo de velocidade é ψ = A x 3 - B x y 2 , em que A = 1   m - 1 . s - 1 e B = 3   m - 1 . s - 1 , e as coordenadas são medidas em metros. Encontre a expressão para o potencial de velocidade.

Passo 1

Temos a função de corrente e buscamos a equação do potencial de velocidade...

Só precisamos recordar uma coisinha...As equações que definem o nosso escoamento como Incompressível:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Passo 2

Vamos nessa! Temos a equação da função de corrente, então vamos encontrar as componentes da velocidade!

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = ∂ ∂ y ( A x 3 - B x y 2 ) v = - ∂ ∂ x ( A x 3 - B x y 2 )

Derivando, teremos:

u ( x , y ) = - 2 B x y v ( x , y ) = - 3 A x 2 + B y 2

Passo 3

Mas ainda não temos certeza se nosso escoamento é irrotacional. Então vamos ao testar!

Para ser um escoamento irrotacional essa equação deve ser respeitada:

∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0

Então vamos lá!

∂ ( - 3 A x 2 + B y 2 ) ∂ x - ∂ ( - 2 B x y ) ∂ y = 0

- 6 A x + 2 B x = 0

Substituindo os valores dados para A e para B, temos que:

- ( 6 * 1 ) x + ( 2 * 3 ) x = 0

Show! É zero! Então beleza, temos um escoamento incompressível!

Passo 4

Finalzinho chegando… Já dando saudade… SQN!

Vamos terminar! Só precisamos resolver as equações lá de cima:

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Para termos o φ , vamos integrar a equação que representa o u e o v :

φ ( x , y ) = - ∫ u ( x , y ) d x φ ( x , y ) = - ∫ v ( x , y ) d y

φ ( x , y ) = - ∫ ( - 2 B x y ) d x φ ( x , y ) = - ∫ ( - 3 A x 2 + B y 2 ) d y

φ ( x , y ) = B x 2 y + f ( y ) φ ( x , y ) = 3 A x 2 y - B y 3 3 + f ( x )

Acabamos!

Resposta

φ ( x , y ) = 3 A x 2 y - B y 3 3

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