Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 43
Um mancal de deslizamento consiste de um eixo de diâmetro e comprimento (momento de inércia ) instalado simetricamente em um invólucro estacionário de mood que a folga anular é . O fluido na folga tem viscosidade . Se é dada ao eixo uma velocidade angular inicial , determine o tempo para que a velocidade do eixo abaixe para 100 rpm. Em outro dia, um fluido desconhecido foi testado da mesma forma, levando 10 minutos para a velocidade passar de 500 rpm para 100 rpm. Qual é a sua viscosidade?
Passo 1
Beleza! A primeira coisa que devemos lembrar é que o torque pode ser escrito como função do momento de inércia vezes a aceleração angular do sistema, então, temos:
O sinal negativo aparece pois estamos considerando o sistema desacelerando. E, sabemos também que o torque pode ser dado pela força resultante vezes o raio da distância onde é aplicada, de modo que:
E, no nosso caso, essa força é a força de cisalhamento, dada pela tensão de cisalhamento vezes a área de contato superficial do mancal, então, temos:
Substituindo essa expressão na equação para o torque, temos:
Agora, conforme vimos no Exemplo 8.2 nesse capítulo, podemos escrever a tensão de cisalhamento como:
Então, substituindo essa expressão na equação do torque, temos:
Passo 2
Agora vamos igualar as duas equações encontradas para o torque no passo 1, dessa forma, temos:
E, sabendo que a aceleração angular é a derivada no tempo da velocidade angular , podemos escrever:
Separando as variáveis, temos:
Agora nós vamos integrar essa equação dos dois lados, então, teremos:
Resolvendo as integrais, temos:
Substituindo o limite de integração da parte esquerda, temos:
Pela propriedade da diferença dos logarítmos, podemos escrever:
E, isolando o tempo dessa equação, chegamos em:
Então, para descobrir o tempo para que a velocidade do eixo abaixe para 100 rpm, basta substituir os valores conhecidos na equação acima, então, teremos:
Passo 3
Agora, para encontrar a viscosidade do fluido desconhecido que demora 10 minutos para reduzir a velocidade de 500 rpm para 100 rpm, vamos pegar a equação obtida no passo 2:
E, isolar a viscosidade, então, temos:
Substituindo os valores conhecidos, temos: