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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 118

Um objeto cai no ar no interior de um longo duto vertical. A velocidade do objeto é constante em 3   m / s . A configuração do escoamento em volta do objeto é mostrada. A pressão estática é uniforme nas seções 1 e 2; a pressão é atmosférica na seção 1. A área efetiva de escoamento na seção 2 é 20 % da área transversal livre do duto. Os efeitos de atrito entre as seções 1 e 2 são desprezíveis. Avalie a velocidade do escoamento relativa ao objeto na seção 2. Calcule a pressão estática na seção 2. Determine a massa do objeto.

Passo 1

Assumindo:

  1. Fluxo constante;
  2. Fluxo uniforme;
  3. Escoamento incompressível,
  4. Atrito é desprezível;
  5. Pressão uniforme nas seções 1 e 2.

Equações:

  1. Equação da continuidade:

    2. 0 = ∂ ∂ t ∫ V C ρ d ∀ + ∫ S C ρ V d A

  2. Equação de Bernoulli:

    3. p 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2

  3. Equação do momento de x :

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ d ∀ + ∫ S C u ρ V d A

Passo 2

Utilizando a equação de continuidade para calcular a velocidade na seção 2:

V 1 A 1 = V 2 A 2

Sendo:

V 1 = 3   m / s ;

A 1 = 0,09   m 2 ;

A 2 = 0,2   A 1 .

Temos:

V 1 A 1 = V 2 ⋅ 0,2 A 1

V 2 = V 1 0,2 = 3 0,2 = 15   m / s

Passo 3

Utilizando a equação de Bernoulli para calcular a pressão estática na seção 2:

p 1 - p 2 = 1 2 ρ V 2 2 - 1 2 ρ V 1 2

Sendo:

p 1 = p a t m ;

Temos:

p 2 = 1 2 ρ V 1 2 1 - V 2 2 V 1 2

Dados:

ρ a r = 1,23   k g / m 3 ;

V 1 = 3   m / s ;

V 2 = m/s.

Temos:

p 2 = 1 2 ⋅ 1,23 ⋅ 3 2 ⋅ 1 - 15 2 3 2 = - 132,84   N / m 2

Portanto, a pressão estática na seção 2 é  - 132,84   N / m 2 .

Passo 4

Utilizando a equação do momento para calcular a massa do objeto:

p 1 A 1 - p 2 A 1 - m g = ρ A 1 V 1 ( V 2 - V 1 )

p 1 - p 2 A 1 - m g = ρ A 1 V 1 ( V 2 - V 1 )

Sendo:

g = 9,8   m / s 2 .

Temos:

m = 132,84 - 1,23 ⋅ 3 ⋅ 15 - 3 ⋅ 0,09 9,81

m = 0,81   k g

Portanto, a massa do objeto é  0,81   k g .

Resposta

V 2 = 15   m / s

p 2 = - 132,84   N / m 2

m = 0,81   k g

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