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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 26

Óleo de motor escoa através de um tubo de 25   m m de diâmetro a uma vazão de 0,5   k g / s . O óleo entra no tubo a uma temperatura de 25 ° C , enquanto a temperatura da superfície do tubo é mantida a 100 ° C .

(a) Determine a temperatura do óleo na saída para tubos com comprimentos de 5   m e 100   m . Para cada caso, compare a média logarítmica das diferenças de temperaturas com a média aritmética das diferenças de temperaturas.

Passo 1

Vamos começar esquematizando a situação. Temos um óleo escoando no interior de um tubo cilíndrico, de dimensões D = 25 × 10 - 3   m e comprimento L 1 = 5   m ou L 2 = 100   m . O óleo entra a uma temperatura de T m , e n t = 2 5 ° C e é aquecido pela parede do cilindro, que está a uma temperatura de T s = 10 0 ° C . A partir destas informações devemos determinar a temperatura de saída para os dois comprimentos. Vamos lá?

Como primeiro passo, vamos considerar que a transferência de calor ocorre apenas por convecção. Então:

q = q c o n v

q = h - A s ∆ T m l

Lembrando que como a temperatura do óleo está variando durante o escoamento precisamos usar a média logarítmica das diferenças de temperatura ( ∆ T m l ).

Outra consideração que faremos é assumir que o processo ocorre sem perdas de energia. Ou seja, todo o calor transferido por convecção é direcionado para aumentar a temperatura do óleo. Então

q = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t

E

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t = h - A s ∆ T m l

Vamos agora explicitar o termo ∆ T m l :

∆ T m l = ∆ T e n t - ∆ T s a i ln ⁡ ∆ T e n t ∆ T s a i

Em que ∆ T e n t e ∆ T s a i são as diferenças de temperatura entre a parede do tubo e o óleo na entrada do tubo e na saída do tubo, respectivamente. Ficamos então com:

∆ T m l = T s - T m ,   e n t - T s - T m ,   s a i ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

∆ T m l = T s - T s + T m ,   s a i - T m ,   e n t ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

∆ T m l = T m ,   s a i - T m ,   e n t ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

Substituindo na relação de transferência de calor:

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t = h - A s T m ,   s a i - T m ,   e n t ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

m ˙ c p = h - A s 1 ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i = h - A s m ˙ c p

T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i = exp ⁡ h - A s m ˙ c p

T s - T m ,   s a i = T s - T m ,   e n t exp ⁡ h - A s m ˙ c p

T m ,   s a i = T s - T s - T m ,   e n t exp ⁡ h - A s m ˙ c p

E chegamos a uma relação para a temperatura de saída do óleo.

Passo 2

Pela relação podemos ver que só resta encontrar o coeficiente convectivo médio e, então, poderemos determinar a temperatura de saída. O próximo passo é estimar uma temperatura de saída para o óleo, de forma a podermos usar as propriedades médias.

Começando pela condição L 1 = 5   m , vamos estimar que T m ,   s a i = 29 ° C , então a temperatura média é:

T - m = T m ,   e n t + T m ,   s a i 2

T - m = 25 ° C + 29 ° C 2

T - m = 27 ° C = 300   K

Nesta temperatura, de acordo com a tabela A-5 do apêndice A, as propriedades do óleo de motor são:

ϑ = 550 × 10 - 6   m 2 / s

P r = 6400

k = 0,145   W / m K

c p = 1909   J / k g K

ρ = 884,1   k g / m 3

Agora temos as propriedades nosso próximo passo é calcular o número de Reynolds:

R e D = m ˙ D ρ A e s c ϑ

R e D = 4 m ˙ D ρ π D 2 ϑ

R e D = 4 m ˙ ρ π D ϑ

R e D = 4 × 0,5 884,1 × π × 25 × 10 - 3 × 550 × 10 - 6

R e D = 52,37

Como R e D < 2100 , o regime de escoamento é laminar.

Passo 3

Para escoamento laminar em duto cilíndrico:

N u - D = 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

h - D k = 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

h - = k D 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

h - = 0,145 25 × 10 - 3 × 3,66 + 0,0668 × 25 × 10 - 3 5 × 5 2,37 × 6400 1 + 0,04 × 25 × 10 - 3 5 × 52,37 × 6400 2 3

h - = 119   W / m 2 K

Agora que encontramos o coeficiente convectivo médio podemos utilizá-lo para encontrar a temperatura de saída:

T m ,   s a i L = 5   m = T s - T s - T m ,   e n t exp ⁡ h - A s m ˙ c p

T m ,   s a i L = 5   m = 10 0 - 10 0 - 2 5 exp ⁡ 119 × π × 25 × 10 - 3 × 5 0,5 × 1909

T m ,   s a i L = 5   m = 28,6 ° C

Que podemos ver que é bem similar à nossa estimativa de 29 ° C .

Precisamos ainda comparar a média aritmética e a média logarítmica das diferenças de temperatura.

A média aritmética das diferenças de temperatura será:

∆ T m = ∆ T e n t + ∆ T s a i 2

∆ T m = T s - T m ,   e n t + T s - T m ,   s a i 2

∆ T m = 150 - 25 + 150 - 28,6 2

∆ T m = 123,2 ° C

E a média logarítmica:

∆ T m l = T m ,   s a i - T m ,   e n t ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

∆ T m l = 28,6 - 25 ln ⁡ 150 - 25 150 - 28,6

∆ T m l = 123,2 ° C

E encontramos que neste caso o valor das médias aritmética e logarítmica coincide. Isto ocorre porque a temperatura do duto é mantida constante.

Vamos agora repetir o mesmo procedimento para L = L 2 = 100   m .

Passo 4

Começando pela estimativa da temperatura de saída, vamos dizer que T m ,   s a i = 4 9 ° C , então a temperatura média é:

T - m = T m ,   e n t + T m ,   s a i 2

T - m = 25 ° C + 4 9 ° C 2

T - m = 3 7 ° C = 31 0   K

Nesta temperatura, de acordo com a tabela A-5 do apêndice A, as propriedades do óleo de motor são:

ϑ = 288 × 10 - 6   m 2 / s

P r = 3 400

k = 0,145   W / m K

c p = 1951   J / k g K

ρ = 877,9   k g / m 3

Agora temos as propriedades nosso próximo passo é calcular o número de Reynolds:

R e D = 4 m ˙ ρ π D ϑ

R e D = 4 × 0,5 877,9 × π × 25 × 10 - 3 × 288 × 10 - 6

R e D = 100,7

Como R e D < 2100 , o regime de escoamento é laminar.

Passo 5

Para escoamento laminar em duto cilíndrico:

h - = k D 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

h - = 0,145 25 × 10 - 3 × 3,66 + 0,0668 × 25 × 10 - 3 100 × 100,7 × 3 400 1 + 0,04 × 25 × 10 - 3 100 × 100,7 × 3400 2 3

h - = 39,9   W / m 2 K

Agora que encontramos o coeficiente convectivo médio podemos utilizá-lo para encontrar a temperatura de saída:

T m ,   s a i L = 100   m = 100 - 100 - 25 exp ⁡ 39,9 × π × 25 × 10 - 3 × 100 0,5 × 1951

T m ,   s a i L = 100   m = 45 , 6 ° C

Valor razoavelmente próximo da nossa estimativa de 4 9 ° C .

Por fim, vamos comparar a média aritmética e a média logarítmica das diferenças de temperatura.

A média aritmética das diferenças de temperatura será:

∆ T m = T s - T m ,   e n t + T s - T m ,   s a i 2

∆ T m = 150 - 25 + 150 - 45,6 2

∆ T m = 114,7 ° C

E a média logarítmica:

∆ T m l = T m ,   s a i - T m ,   e n t ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   s a i

∆ T m l = 45 , 6 - 25 ln ⁡ 150 - 25 150 - 45 , 6

∆ T m l = 114,4 ° C

E verificamos que os valores das médias aritmética e logarítmica são praticamente iguais. Novamente, isto ocorre porque a temperatura do duto é mantida constante.

Resposta

(a) T m ,   s a i L = 5   m = 28,6 ° C

T m ,   s a i L = 100   m = 45,6 ° C

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