Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 11
Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas estacionárias. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é 1,25 kPa/m e a meia-altura do canal é . Calcule o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal .
Passo 1
Tá legal, podemos tratar esse exercício como sendo um escoamento laminar com gradiente de pressão entre placas estacionárias e paralelas, considerando as coordenadas no centro do escoamento, então, a o perfil de velocidade será dada pela equação 8.7 vista nessa seção:
E, sabemos que a tensão de cisalhamento será dada por:
Precisamos agora encontrar a derivada da velocidade em relação a . Então, teremos:
E substituindo essa expressão na equação anterior, temos:
Na parede, onde temos , substituindo o que acabamos de encontrar:
E agora substituindo os valores conhecidos (lembrando que apesar de o enunciado não ter colocado o sinal, o gradiente de pressão é sempre negativo), temos:
Considerando um sistema de coordenadas onde o do nosso sistema está crescendo em relação à esquerda do escoamento e como acabamos de ver que a face superior é negativa em , o escoamento está indo da direita pra esquerda enquanto a tensão de cisalhamento age da esquerda para a direita, por isso é negativo!
Passo 2
Agora, para encontrar a vazão volumétrica pode ser encontrada através da sua definição, dada por:
Pela definição de integral e devido a simetria do perfil de velocidade do escoamento, temos:
Então, substituindo o perfil de velocidade nessa equação, temos:
Resolvendo a integral, temos:
Substituindo os limites de integração (lembrando que na dedução feita dessa equação temos ), temos:
Passo 3
Agora, substituindo os valores conhecidos na equação encontrada no passo 2, temos: