Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 10
Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas estacionárias. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento entre as placas é . A viscosidade do óleo é e o gradiente de pressão é . Determine o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento sobre a placa superior e a vazão volumétrica através do canal por metro de largura.
Passo 1
Tá legal, podemos tratar esse exercício como sendo um escoamento laminar com gradiente de pressão entre placas estacionárias e paralelas, considerando as coordenadas no centro do escoamento, então, a o perfil de velocidade será dada pela equação 8.7 vista nessa seção:
E, sabemos que a tensão de cisalhamento será dada por:
Então, precisamos encontrar a derivada da velocidade em relação a . Então, teremos:
Então, substituindo essa expressão na equação anterior, temos:
Então, na parede, onde temos , então, substituindo:
Então, substituindo os valores conhecidos, temos:
Então, como temos sinal negativo, e a face superior é negativa em , então como os dois valores são negativos, a tensão de cisalhamento age para a direita.
Passo 2
Agora, para encontrar a vazão volumétrica pode ser encontrada através da sua definição, dada por:
Pela definição de integral e devido a simetria do perfil de velocidade do escoamento, então, temos:
Então, substituindo o perfil de velocidade nessa equação, temos:
Resolvendo a integral, temos:
Então, substituindo os limites de integração (lembrando que na dedução feita dessa equação temos ), temos:
Passo 3
Agora, substituindo os valores conhecidos na equação encontrada no passo 2, temos: