Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 140
Uma parede plana de espessura L = 4 cm tem condutividade térmica . Uma reação química ocorre dentro da parede, resultando na geração de calor uniforme e uma taxa de . Entre a parede e a camada isolante, existe um aquecedor de espessura desprezível que gera fluxo de calor . O lado oposto da parede está em contato com água em temperatura . Um termopar na superfície da parede em contato com a água marca .
- Determine o coeficiente de convecção entre a parede a água.
- Mostre que a distribuição permanente de temperatura tem forma e determine os valores e as unidades de a, b e c. A origem de é mostrada na figura.
- Determine a posição e o valor da temperatura máxima na parede. Essa posição pode ser encontrada sem conhecer os valores de a, b e c, apenas sabendo que é uma função quadrática? Justifique
Passo 1
O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, geração de calor e condutividade térmica constante.
Vamos começar determinando o coeficiente de convecção . Para isto, basta fazermos um balanço de energia no corpo. Sendo assim, temos:
E assim finalizamos a letra a)
Passo 2
Agora vamos provar a equação da distribuição de temperatura do corpo. Para isto, precisamos partir da equação diferencial e utilizar as condições de contorno do problema.
Por causa das nossas hipóteses, temos a seguinte equação diferencial:
E as condições de contorno são:
Agora, vamos resolver nossa EDO. Então, temos:
Aplicando as condições de contorno, temos:
Já na segunda condição, temos:
Por fim, a nossa distribuição de temperatura é dada por:
E então, conseguimos uma distribuição quadrática! Os valores dos coeficientes são , e
Passo 3
Como estamos trabalhando com uma equação quadrática, a posição em que a função é maximizada é em:
Agora, o problema é que a parede só possui de comprimento. Para valores maiores ou menores que 0,2 m o valor da temperatura diminui (pois temos o valor de a negativo!).
Logo, o valor da temperatura será o maior para a coordenada da parede mais próxima de , o que ocorre em ! E a temperatura nesta posição é:
Além disto, poderíamos determinar esta posição sim sem analisarmos a equação! Como a parede em é adiabática (não troca calor), e temos um corpo com geração de calor e em regime permanente, significa que todo o calor gerado é “expulso” dele.
E então, se uma parede não troca calor e nós precisamos expulsar o calor do corpo, só nos resta expulsar pela outra parede, né? E para que a condução seja no sentido da outra parede, significa que a temperatura aumenta no sentido contrário (condução é no sentido contrário do gradiente).
E é por isto que temos a temperatura máxima na parede adiabática.
Resposta
- O coeficiente de convecção é:
- A distribuição de temperatura e os coeficientes a, b e c são:
- A temperatura máxima e a posição são dadas em:
Sim, pode-se inferir que é na parede adiabática que temos as maiores temperaturas